O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Taqribiy sonlar ustida amallar natijalarining xatoligi. 
Taqribiy sonlar ustida 
bajarilgan amallarning natijasi ham taqribiy. Bunday hisoblashlarning xatoligi 
dastlabki sonlarning xatoliklari orqali quyidagi qoidalar bo‘yicha ifodalanishi 
mumkin: 
1) Sonlarni qo‘shish va ayirishda ularning absolyut xatoliklari qo‘shiladi: 
.
)
(
)
(
)
(
b
a
b
a
b
a
b
a













Umumiy holda, agar 
n
a
a
a
y




...
2
1
bo‘lsa, unda 
.
)
(
)
(
1





n
i
i
a
y
Xususan 
)
(
...
)
(
)
(
2
1
n
a
a
a






hol uchun 






n
i
i
a
y
1
)
(
)
(
).
(
1
a
n

Agar 
n 
> 10 bo‘lsa, ushbu 
)
(
3
)
(
1
a
n
y



Chebotaryev 
formulasi
dan foydalaniladi. 
Ikki son yig‘indisi yoki ayirmasining nisbiy xatoligi ushbu 
;
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
max
max
max























b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
max
)
(
)
(
)
(
)
(













b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
formulalar bo‘yicha hisoblanadi, bu yerda 
a
>0, 
b
>0; 
b
a

; 


)
(
),
(
max
max
b
a




, 
b
a
b
a



/

. Agar 
b
a
b
a



bo‘lsa, u holda 
1


va bu hol 
aniqlikning 
katostrofik yo‘qotilishi 
yoki 
aniqlikning to‘la yo‘qotilishi
deb ataladi. 
2) Ikki son bir-biriga ko‘paytirilganda yoki bo‘lingada ularning absolyut va 
nisbiy xatoliklar qo‘shiladi:
;
)
(
)
(
)
(
a
b
b
a
a
b
b
a
b
a










;
)
(
)
(
)
(
b
a
b
a






;
)
(
)
(
2
2
b
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b















.
)
(
)
(
b
a
b
a











Xususan, taqribiy son 
k
ko‘paytuvchiga ko‘paytirilganda nisbiy xatolik o‘zgar-
maydi, absolyut xatolik esa 
k
marta ortadi, ya’ni 
)
(
)
(
a
k
a
k



, 
)
(
)
(
a
a
k



. 

---

29 
3) Taqribiy son darajaga ko‘tarilganda uning nisbiy xatoligi daraja 
ko‘rsatgichiga ko‘paytiriladi: 
)
(
)
(
a
k
a
k



, xususan, 
k
a
a
k
/
)
(
)
(



.
Umuman olganda, sonlar ustida amallar bajarishda quyidagi qoidalarga amal 
qilgan ma’qul: 1) sonlar ketma-ketligini qo‘shishda va ayirishda ularni modulining 
oshib borishiga qarab, ularni qo‘shib yoki ayirib borish kerak; 2) qiymati bir biriga 
juda yaqin bo‘lgan sonlarni ayirishdan imkoniyati boricha qochish kerak; 3) ushbu 
a
(
b
–
c
) ifodani 
ab 
– 
ac
kabi, (
b
–
c
)/
a
ifodani esa 
b
/
a
– 
c
/
a
kabi yozish mumkin. Agar 
b
va 
c
sonlar bir biriga juda yaqin bo‘lsa, u holda ayirmani ko‘paytma va 
bo‘linmadan oldin bajariz zarur; 4) hisoblashlarda arifmetik amallar sonini minimal 
holatga keltirish tavsiya etiladi. 
Xatoliklar nazariyasining to‘g‘ri masalasi.
Masala argumentning berilgan 
xatoligi bo‘yicha funksiya qiymatini hisoblash xatoligini baholashdan iborat. 
Funksiya xatoligi. 


n
x
x
x
f
u
,...,
,
2
1

– ko‘p o‘zgaruvchili, uzluksiz, differen-
sialanuvchi funksiya absolyut xatoligining umumiy formulasi quyidagicha: 
















n
i
i
i
n
i
i
i
n
x
x
f
x
x
f
x
x
x
df
u
1
1
2
1
)
(
)
(
,...,
,
)
(
yoki bu tengsizlikni yanada kuchaytirsak, 







n
i
x
i
i
x
f
u
1
)
(
yoki







n
i
x
i
u
i
x
f
1
, 
bu yerda 
i
x

– berilgan 
)
...,
,
2
,
1
(
n
i
x
i

argumentlarning chegaraviy absolyut xato-
liklari. Xususan 
c
= 
a
– 
b
ayirma uchun 
b
a
b
b
a
a
c
c
c











. Chegaraviy 
nisbiy xatolik ushbu 






n
i
x
i
u
i
x
f
f
1
1

formuladan topiladi. Xususan, bir 
o‘zgaruvchili 
y
=
f
(
x
) 
funksiya 
uchun: 
x
x
y
y
x
f
x
f
x
x
f
x
f
x
f







)
(
)
(
)
(
)
(
)
(


; 
x
x
y
x
x
f
x
f

)
(
)
(






. 
Masalan, ba’zi elementar funksiyalar uchun chegaraviy xatoliklar: 
1)
y = x
k
– darajali funksiya uchun 
x
k
y
kx




1
; 
x
x
y
x
k
k




1


. 
2)
y = a
x
– ko‘rastkichli funksiya uchun 
x
x
y
a
a




ln
; 
x
y
a
x




ln

; 
xususan, 
y = e
x
uchun: 
x
x
y
e




; 
x
x
y
x






. 
3)
y=
lg
x 
– 
logarifmik 
funksiya 
uchun 
;
)
10
ln
(
1
x
y
x






x
y
x






1
)
10
ln
lg
(
; xususan, 
y = 
ln
x
uchun 
y
x
y
x







1
; 
x
y
x





1
)
ln
(
. 
4)
Trigonometrik funksiyalar uchun: 
;
cos
sin
x
x
x
x








x
cos

---

30 
;
sin
x
x
x





;
)
tg
1
(
2
tg
x
x
x
x






x
x
x
x






)
ctg
1
(
2
ctg
; 
x
x
x
x
x
x






ctg
ctg
sin


;
x
x
x
x
x
x






tg
tg
cos


. 
5)
Teskari trigonometrik funksiyalar uchun: 
;
1
/
2
arccos
arcsin
x
x
x
x






);
1
/(
2
arctg
x
x
x






;
1
arcsin
/
2
arcsin
x
x
x
x
x








;
1
arccos
/
2
arccos
x
x
x
x
x








;
)
1
(
arctg
/
2
arctg
x
x
x
x
x






6)
z = x
y
funksiya uchun: 


;
ln
/
y
x
x
y
x
x
y
z






;
ln
x
y
z
y
x
y







Bir argumentli funksiyaning absolyut va nisbiy xatoliklarini topish uchun ushbu


2
/
)
(
)
(
)
(







x
f
x
f
y
;
)
(
/
)
(
)
(
x
f
y
y



; 
)
(
;
)
(
x
x
x
x
x
x










formulalardan foydalanish maqsadga muvofiq (xuddi shunday ko‘p argumentli 
funksiya uchun ham). 
Masalan, 
x
= 0,63 argumentning qiymati 0,1% nisbiy xatolikka ega bo‘lsa 
sin0,63 ning nisbiy xatoligi: 
;
%
08
,
0
000864
,
0
001
,
0
63
,
0
ctg
63
,
0
)
63
,
0
(sin






bunda 0,00864<1

10
-3
bo‘lganligi uchun sin0,63 = 0,589145 qiymat verguldan keyin 
kamida ikkita qat’iy ishonchli raqamga ega.