O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
Steffensen (Eytken-Steffensen) usuli. 
Urinmalar usulining yaqinlashish tezligini oshirish uchun uning ifodadagi 
)
(
n
x
f

hosilaning approksimatsiyasi o‘rniga quyidagi ifodadan foydalalanish lozim: 
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
f
x
f






1
1
)
(
)
(
)
(
. (2.4) 
Agar kesuvchilar usulidagi hosila ifodasini chap ayirmali approksimatsiya de-
sak, u holda (2.4) ni o‘ng ayirmali approksimatsiya deb olish mumkin. 
(2.4) dan ko‘rinadiki, unda hali aniqlanmagan 
x
n
+1
noma’lum had qatnashmoqda 
uni hisoblash uchin oddiy iteratsiyalar ifodasidan foydalanamiz:
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
x
g
x




. 
Natijada biz quyidagi approksimatsiyaga ega bo‘lamiz: 
)
(
)
(
))
(
(
)
(
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f




. 
Bu ifodadan Nyuton usulida foydalanish bilan yangi iteratsion algoritmga ega 
bo‘lamiz: 
)
(
)
(
))
(
(
)
(
1
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x





. (2.5) 
Bu iteratsion algoritm sonli usullarda 
Steffensen usuli
deb ataladi. 
Steffensen usuli kvadratik yaqinlashishga ega, ammo bu yerda qo‘shimcha 
ravishda 
))
(
(
n
n
x
f
x
f

ifodaning qiymatini hisoblash hisobiga yuqori yaqinlashish 

---

95 
tezligiga erishiladi. Bu usul har bir iteratsiyada funksiyaning qiymatini ikki marta 
hisoblashni talab qiladi, bu jihatdan Steffensen usuli kesuvchilar usuliga qarahanda 
kamroq samara beradi. 
Yuqoridagi (2.5) iteratsion algoritmni Eytken tomonidan taklif etilgan chiziqli 
yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning yaqinlashishini tezlashtirish uslubidan ham olish 
mumkin. 
Buning uchun quyidagi ketma-ketlikni qaraylik: 
z
n
 = z + Cq
n
. (2.6)
Bu ketma-ketlik 

q

<1 da 
z
limitga yaqinlashadi. Uncha qiyin bo‘lmagan 
akslantirishlar yordamida 
z
limitik qiymatni {
z
n
} ketma-ketlikning uchta 
z
n
-1
 
, 
z
n
va 
z
n
+1
ketma-ket elementlari orqali ifodalash mumkin. Buning uchun bizga ko‘rinib 
turgan 
q
z
z
z
z
n
n




1
va 
q
z
z
z
z
n
n




1
ikkita tenglikdan ushbu 
2
1
1
)
(
)
)(
(
z
z
z
z
z
z
n
n
n






tenglikka kelinadi. Bu yerdan esa o‘z navbatida 
z
ning quyidagi ifodasi kelib chiqadi: 
1
1
2
1
1
2








n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
z
. 
Bu 
natijaga 
asoslanib, 
{
z
n
} 
ketma-ketlikni 
boshqa 
ketma-ketlikka 
almashtirishning quyidagi Eytken taklifini qaraylik: 
1
1
2
1
1
1
2









n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z

. (2.7) 
Agar bu almashtirishni (2.6) ko‘rinishidagi ixtiyoriy ketma-ketlikka qo‘llasak, u 
holda 
n
ning ixtiyoriy qiymatida 
n
n
n
z
z




lim

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Agar {
x
n
} 
ketma-ketlikning yaqinlashish turi (2.6) nikiga yaqin bo‘lsa, u holda (2.7) 
almashtirish (
n
ning ixtiyoriy qiymatida uning limitini bermasada) 
z
ga dastlabkisiga 
nisbatan tezroq yaqinlashuvchi yanqi ketma-ketlikni beradi. 
1-misol.
Ushbu
x
3
–
x
2
–8
x
+12=0 
tenglamaning ikki karrali 
x
r
= 2 ildiziga taqribiy yaqinlashishni Nyuton usuli va unga 
Eytken tezlatgichini qo‘llash bilan bajaring.
Yechish.
Hisoblashlar natijalari mos ketma-ketliklar elementlari bilan quyidagi 
jadvalda keltirilgan (uchinchi va to‘rtinchi ustunlarga qarang). 
n 
x
n 

 x
n
- 
x
r

/

 x
n
-1
- 
x
r


n 

 

n
- 
x
r

/

 

n
-1
- 
x
r

0 
0,5 
- 
- 
- 
1 
1,454545 
0,363636 
- 
- 
2 
1,745059 
0,467381 
1,872159 
- 
3 
1,876049 
0,486197 
1,983607 
0,128232 
4 
1,938822 
0,493563 
1,996588 
1,208141 
5 
1,969602 
0,496884 
1,999213 
1,230676 

---

96 
6 
1,984847 
0,498466 
1,999811 
0,240656 
7 
1,992425 
0,499239 
1,999954 
0,245400 
8 
1,996221 
0,499621 
1,999988 
0,247717 
9 
1,998111 
0,499811
1,999997 
0,248863 
10 
1,999056 
0,499905
1,999999 
0,249432 
11 
1,999528
0,499953
2,000000 
0,249717 
12 
1,999764
0,499976
2,000000
0,249856 
13 
1,999882
0,499988
2,000000
0,249948 
14 
1,999941
0,499994 
2,000000
0,250448 
Bu jadvalning uchinchi ustunida yaqinlashish tezligi 

= 1 deb faraz qilinib, 
(2.6) tenglikdagi 
C
o‘zgarmasning har bir iteratsiyadagi qiymatlari keltirilgan. 
Jadvaldagi natijalardan ko‘rinadiki, 
C
o‘zgarmas iteratsion jarayonda juda kam 
o‘zgarib boradi va u 
C
=0,5 qiymatga juda ham yaqin. Natijada Nyuton usulining 
karrali ildizga yaqinlashish tezligi chiziqli ekanligi haqidagi faraz isbotlanadi. 
Chiziqli yaqinlashuvchi {
x
n
} ketma-ketlikni (2.7) tezlashtirivchi formulaga 
qo‘llab, jadvalning to‘rtinchi ustunidagi 

n
 
larning qiymatlariga erishamiz. Jadvalning 
ikkinchi va tortinchi ustunlaridagi qiymatlarni taqqoslash bilan yaqinlashish tezligiga 
erishganligimizga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan ham, Nyuton usulining o‘n 
to‘rtinchi iteratsiyasida erishiladigan natijaga Nyuton usuli va Eytken tezlatgichini 
qo‘llab, uning yettinchi iteratsiyasida shu najijaga kelish mumkinligini ko‘rish 
mumkin. Bu jadvalning beshinchi ustunidagi natijalar yaqinlashish tezligi 
ko‘rsatgichi 

ning oshishi hisobiga emas, balki 
C
o‘zgarmasni 0,25 gacha 
kamaytirish hisobiga bunday samarali natijaga erishilganligini ko‘rsatadi. 
Endi oddiy iteratsiyalar usulida ildizga taqribiy yaqinlashishning tezligini 
oshirishni tahlil qilaylik. Buning uchun avvalo 
)
(
1
n
n
x
g
x


iteratsion formulaning 
o‘ng tarafini Teylor qatoriga yoyaylik, ya’ni 
)
)
((
)
)(
(
))
(
(
)
(
2
r
n
r
n
r
r
r
n
r
n
x
x
O
x
x
x
g
x
x
x
x
g
x
g









. 
Bunga ko‘ra 
)
)
((
)
)(
(
2
1
r
n
r
n
r
r
n
x
x
O
x
x
x
g
x
x







. 
Shunday qilib, 
r
n
n
x
x
e


kvadrat aniqlik bilan har bir iteratsiya uchun 
quyidagi taqribiy tenglikni yozish mumkin: 
)
)(
(
1
r
n
r
r
n
x
x
x
g
x
x





. 
Bu yerdan {
x
n
} ketma-ketlikni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin: 
)
(
)]
(
[
0
r
n
r
r
n
x
x
x
g
x
x




. 
Bu ketma-ketlikning ham yaqinlashishi turi (2.6) ketma-ketlikniki kabi. Demak, 
oddiy iteratsiyalardagi ildizga yaqinlashish ketma-ketligi yaqinlashishni tezlashtirish 
prosedurasini qo‘llash uchun mos ekan. 

---

97 
Yaqinlashishni tezlashtirish prosedurasini qo‘llashda hisoblangan har bir yaxshi-
lovchi qiymatning keyingi hisoblashlarda ham hisobga olinishini ta’minlash maqsa-
dida uni shu zahoti hisobga kiritish lozim. Bu iteratsiyaning har bir qadamida 
quyidagicha bajariladi: faraz qilaylik, hisoblashlar 
x
n
ning qiymatini hisoblashgacha 
bajarildi; uning yordamida ikkita yordamchi 
)
(
)
1
(
n
n
x
g
x

va 
))
(
(
)
2
(
n
n
x
g
g
x

qiymatlarni hisoblaymiz. Uchta
x
, 
)
1
(
n
x
va 
)
2
(
n
x
qiymatlarga (2.7) tezlatgich formula-
ni qo‘llaymiz va uning natijasini navbatdagi 
x
n
+1
yaqinlashish deb qabul qilamiz: 
n
n
n
n
n
n
n
x
x
g
x
g
g
x
g
x
g
g
x
x





)
(
2
))
(
(
)
(
))
(
(
2
1
. (2.8) 
Bu tenglik (2.5) Steffensen iteratsion formulasining yozilish shakllaridan biri 
ekanligi ko‘rinib turibdi. 
2-misol.
(2.8) formulani ushbu
x
3
– 
x
2
– 8
x 
+ 12 = 0 
tenglamaning ikki karrali ildizini topishga qo‘llang. 
Yechish. 
Buning uchun Nyuton iteratsiyasiga mos
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
x
g



deb olib, (2.8) formula bo‘yicha hisoblashlardan
{0,5; 1,87215909; 1,99916211; 1,99999996; 2,00000000} 
ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu qiymatlarni 

n
ning yuqoridagi jadvalning to‘rtinchi 
ustunidagi qiymatlari bilan taqqoslab, tezlatgichni ketma-ketlikka emas, balki hatija 
olingan algoritmga kiritish bilan samaradorlik oshganligini ko‘rishimiz mumkin. 
Ushbu misolni Maple dasturi-
ning paketidan foydalanib yechamiz 
(2.39-rasm): 
>with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]): 
>
f
:=
 x
3
– 
x
2
– 8
x 
+ 12; 
>
fsolve
(
f
); 
–3,. 2., 2. 
>
Steffensen
(
f
,
x
=–2,
tolerance
=10
-4
); 
–3.000000000 
>
plot
(
f
,
x
=–3.5..3)