Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

x
f


 
noktaları olsun. 
1
1
2
1
1
1
1
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x x
x x
f
f
L x
f
f
x x
x x
x
x
x
x
h
h










 





 
1
1
1
1
(
)
(
)
i
i
x
i
i
i
i
i
i
x
f
f
y
y
x x
x x dx
h
h






 









,  
0
i
x
 , 
1
i
x
h

  
1
0
0
(
)
h
h
i
i
i
f
f
y
x h dx
xdx
h
h

 




 
1
2
2
i
i
i
hf
hf
y




1
(
)
2
i
i
i
h
y
f
f




 
1
1
(3
)
2
K
i
i
i
i
h
y
y
f
f





 
1
1
(
)
2
D
i
i
i
i
h
y
y
f
f





 
 
Örnek. 
' 2
y
x
y


ve
(0) 2
y

 başlangıç  değer  problemi  veriliyor. 
(0.4)
y
değerini  kestirme 
düzeltme formülü ile hesaplayınız. 
0.2
h

 dir. 
 
1
0
0
0
(0.2)
( , ) 2 (0.2) (0, 2) 2 (0.2)(1.4142) 2.2828
y
y
y
hf x y
f



 
 

 
 
2
1
1
0
(3
)
2
K
h
y
y
f
f



 
 
0
1.4142
f

, 
1
1.9109
f

 
 
2
0.2
2.2828
(3(1.9109) 1.4142) 2.7146
2
K
y




 

132 
 
 
2
1
1
2
(
)
2
D
h
y
y
f
f



 
 
2
2(0.2)
2.7146 2.4476
f



 
 
2
0.2
2.2828
(1.9109 2.4476) 2.7186
2
D
y




 
Üç Noktalı Kestirme Düzeltme Formülleri : 
1
2
1
(5
16
23 )
12
K
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f







 
1
1
1
(5
8
)
12
D
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f







 
Dört Noktalı Kestirme Düzeltme Formülleri : 
1
2
2
1
( 9
37
59
55 )
24
K
i
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f
f










 
1
2
1
1
(
5
19
9
)
24
D
i
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f
f









 
07.08.03. Milne Yöntemi 
Bu  yöntemin de başlatılabilmesi için 
1
i
y

 den önceki üç değerin  yani 
i
y , 
1
i
y

, 
2
i
y

 nin başka 
bir yöntemle bulunması gerekir. 
Deneme formülü ; 
1
3
1
2
4
(2
2
)
3
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f








 
Düzeltme formülü ; 
1
1
1
1
(
4
)
3
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f








 
Örnek. 
Aşağıdaki tabloda 
'
2
y
x y
 

diferansiyel eşitliğinin tek adımlı bir yöntemle belirlenmiş ilk 
dört değeri verilmiştir. 
(0.4)
y
değerini Milne yöntemi ile bulunuz. 
x
 
y
 
( , )
f x y
 
0.0 
-1 
-2(0.0)-(-1)=1 
0.1 
-0.9143122 
0.7145123 
0.2 
-0.8561923 
0.4561923 
0.3 
-0.8224547 
0.2224547 
 
4
0
3
2
1
4
(2
2 )
3
h
y
y
f
f
f




 

133 
 
 
4(0.1)
1
(2(0.2224547) 0.4561923 2(0.714123))
3
  


 
 
0.8109678
 
 
4
2(0.4) ( 0.8109678) 0.0109678
f
 
 

 
4
2
2
3
4
(
4
)
3
h
y
y
f
f
f




 
 
0.1
0.8561923
(0.0109678 4(0.2224547) 0.4561923)
3
 



 
 
0.810959
 
 
 
07.09. Birinci Mertebeden Adi  Diferansiyel Denklem Sistemleri 
Bu  uygulamalarda  karşımıza  birden  fazla  birinci  mertebeden  adi  diferansiyel  denklemler 
çıkabilir. Böyle bir denklem sistemi genel olarak 
'
1
2
( , ,
,...,
)
i
i
m
y
f x y y
y

, 
(
1, 2,..., )
i
m

 
0
0
( )
i
i
y x
y

 
şeklinde  m  tane  başlangıç  şartı  ile  beraber  yazılabilir.  Burada 
x
 bağımsız  değişkeni 
i
y  ise 
bağımlı değişkenleri göstermektedir. Bu tip denklem sistemini çözmek için yukarıda verilen 
herhangi bir yöntem kullanılabilir. 
 
Euler Yönteminin Sistemlere Uygulanışı : 
'
1
2
( , ,
,...,
)
i
i
m
y
f x y y
y

sistemi  ve
0
0
( )
i
i
y x
y

başlangıç  şartlarını  göz  önüne  alalım
(
1, 2,..., )
i
m

. 
Bu 
sisteme 
Euler 
ile 
çözüm 
yöntemi 
şöyle 
uygulanır.
0
0
0
10
20
0
(
)
( ,
,
,...,
)
i
i
i
m
y x
h
y
hf x y y
y



, 
(
1, 2,..., )
i
m

 
Örnek. 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
2
3
y
x y
y
y
x
y
y






 


 denklem  sistemi 
1
(0) 1
y
 , 
2
(0)
1
y
   başlangıç  değerleri  ile  veriliyor. 
1
(0.1)
y
 ve  
2
(0.1)
y
 değerlerini bulunuz. 
 
1
1
2
2
f
x y
y

   
 
2
1
2
2
3
f
x
y
y
 

 
 
1
(0,1, 1) 2(0) 1 ( 1) 2
f
 
     
 
2
(0,1, 1) 0 2(1) 3( 1)
5
f
  
     
1
1
(0.1)
(0)
(0,1, 1) 1 (0.1)2 1.2
y
y
hf


  

 

134 
 
2
2
(0.1)
(0)
(0,1, 1)
1 (0.1)( 5)
1.5
y
y
hf


   
  
 
Huen Yönteminin Sistemlere Uygulanışı : 
'
( , , )
y
f x y z

0
0
( )
y x
y

 
'
( , , )
z
g x y z

0
0
( )
z x
z

başlangıç  değer  problemini  ele  alalım. 
0
(
)
y x
h

 ve 
0
(
)
z x
h
  
değerini Euler yöntemi ile ; 
 
0
0
0
0
0
(
)
( )
( , , )
y x
h
y x
hf x y z



 
 
0
0
0
0
0
(
)
( )
( , , )
z x
h
z x
hg x y z



 
şeklinde  hesaplayabiliyorduk.  Eğer 
0
x  ve 
0
x
h
  deki  eğimlerin  aritmetik  ortalaması  alınırsa 
gerçeğe yakın sonuçlar elde edilebileceğini biliyoruz. O halde 
0
x  daki eğim 
0
'( )
y x  ve 
0
'( )
z x  
ile 
0
x
h

 daki Euler yöntemi ile bulunan  
 
(1)
0
0
0
0
0
(
)
( )
( ,
, )
y
x
h
y x
hf x y z



 
 
(1)
0
0
0
0
0
(
)
( )
( ,
, )
z
x
h
z x
hg x y z



  
değerlerinin f ve g de yerlerine yazılmalarıyla   
 
(1)
(1)
0
0
'(
)
(
,
,
)
y x
h
f x
h y
z



 
 
(1)
(1)
0
0
'(
)
(
,
,
)
z x
h
g x
h y
z



   
şeklinde bulunur. Böylece  
(1)
(1)
(2)
0
0
0
0
0
0
( , , )
(
,
,
)
(
)
( )
2
f x y z
f x
h y
z
y
x
h
y x
h






 



 
(1)
(1)
(2)
0
0
0
0
0
0
( , , )
(
,
,
)
(
)
( )
2
g x y z
g x
h y
z
z
x
h
z x
h






 


  
ikinci  tahmin  denklemleri  bulunur.  Benzer  işlemlere  devam  edilerek 
(3)
y
, 
(3)
z
 ve  daha 
sonrakiler hesaplanır. 
 
Örnek. 
'
2
'
2
3
y
y z
x
z
y
z x
  


  
  
Denklem sistemi y(0) = 1 , z(0) = -1 başlangıç değerleri ile veriliyor.  
0.5
h

  alarak sistemi Huen yöntemi ile çözünüz. 
( , , )
2
f x y z
y z
x
  
 
( , , )
2
3
g x y z
y
z x
 


 

135 
 
 
(0,1, 1) 2
f
 
, 
(0,1, 1)
5
g
  
 
 
(1)
(0.5)
(0) (0.5) (0,1, 1) 2
y
y
f


   
 
(1)
(0.5)
(0) (0.5) (0,1, 1)
3.5
z
g
g


  
 
 
'(0.5)
(0.5, 2, 3.5) 6.5
y
f



 
 
'(0.5)
(0.5, 2, 3.5)
14
z
g


 
 
 
(2)
2 6.5
(0.5) 1 0.5
3.125
2
y



 





 
 
(2)
5 14
(0.5)
1 0.5
5,375
2
z
 


  
 




 
Runge-Kutta Yönteminin Sistemlere Uygulanışı : 
'
( , , )
'
( , , )
y
f x y z
z
g x y z





0
0
0
0
( )
( )
y x
y
z x
z


  başlangıç değer problemini ele alalım. 
1
i
i
h x
x


 olmak üzere; 
1
2
1
1
( , , )
(
,
,
)
i
i
i
i
i
i
k
hf x y z
k
hf x
h y
k z
k








1
2
1
(
)
(
)
2
i
i
y x
h
y
k
k




 
1
2
1
1
( , , )
(
,
,
)
i
i
i
i
i
i
l
hg x y z
l
hg x
h y
l z
l






 
1
2
1
(
)
(
)
2
i
i
z x
h
z
l
l

 

 
 
Örnek. 
3
'' 3 ' 2
x
y
y
y e




, 
(0) 1
y

, 
'(0) 2
y

 2.mertebeden  sabit  katsayılı  lineer  diferansiyel 
denklemi,  başlangıç  koşullu  1.mertebeden  diferansiyel  denklem  sistemine  dönüştürerek 
2.mertebeden Runge-Kutta ile çözünüz. (
0.5
h

) 
'
y
z

 ,
''
'
y
z

 
3
3
' 3
2
2
' 2
3
2
x
x
z
z
y
e
z
e
z
y





 


 
3
'
( , , )
' 2
3
2
( , , )
x
y
z
f x y z
z
e
z
y g x y z

 







 
(0) 1
y

(0)
'(0) 2
z
y


 
 
1
0
0
0
2
0
0
1
0
1
( , , )(0.5) (0,1, 2) (0,5)2 1
(
,
,
) (0.5) (0.5, 2.3) 1.5
k
hf x y z
f
k
hf x
h y
k z
k
f









 
1
0
1
2
1
1
(
) 1
(1 1.5) 2.25
2
2
y
y
k
k



 


 

136 
 
3(0)
1
0
0
0
3(0.5)
2
0
0
1
0
1
( , , ) (0.5) (0,1, 2) (0.5)(2
3(2) 2(1))
3
(
,
,
) (0.5) (0.5, 2, 1) (0.5)(2
3( 1) 2( 2)) 3.813
l
hg x y z
g
e
l
hg x
h y
l z
l
g
e







 





  
   

1
0
1
2
1
1
(
) 2
( 3 3.813) 2.406
2
2
z
z
l
l



 
 

 
Taylor Seri Yönteminin Sistemlere Uygulanışı : 
1
1
1
2
2
2
1
2
'
( , , )
'
( , , )
y
f x y y
y
f x y y





 
1
0
10
2
0
20
( )
( )
y x
y
y x
y


 
koşullarıyla  başlangıç  değer  problemini  ele  alalım. 
.i
noktada  fonksiyon  değerleri  belli  iken 
(
1).
i

noktada değerler; 
2
3
'
''
'''
1
1
1
1
1
1
2
3
'
''
'''
2
1
2
2
2
2
(
)
( )
( )
( )
( ) ...
2!
3!
(
)
( )
( )
( )
( ) ...
2!
3!
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
h
h
y x
y x
hy x
y x
y x
h
h
y x
y x
hy x
y x
y x















 
 
elde  edilir.  Bu  formüllerdeki  türevler 
1
1
1
2
'
( , , )
y
f x y y

, 
2
2
1
2
'
( , , )
y
f x y y

 denklemleriyle 
hesaplanır. İstenilen türev mertebesi kadar terim, toplama katılır. 
 
Örnek.    
 
2
1
1
2
2
1
2
' 2
' 3
4
y
y
y
x
y
y
y
x






 
1
2
(1) 1
(1) 2
y
y


 
 
koşullarıyla  başlangıç  değer  problemini 
0.05
h

 alarak  ve  Taylor  seri  açılımında  2. 
mertebeden türevlerini hesaba katacak şekilde hesaplayınız. 
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
'(1,1, 2) 2(1) 2 1
5
'(1,1, 2) 3(1) 4(2) 1 12
''
( ') 2 '
' 2
''(1,1, 2) 2(5) 12 2(1) 24
''
( ') 3 ' 4 ' 1
''(1,1, 2) 3(5) 4(12) 1 64
y
y
d
y
y
y
y
x
y
dx
d
y
y
y
y
y
dx

  


 












 


 
 
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
(0.05)
(
)
( )
'( )
''( ) 1 (0.05)5
24 1.28
2!
2
(0.05)
(
)
( )
'( )
''( ) 2 (0.05)12
64 2.68
2!
2
i
i
i
i
i
i
i
i
h
y x
y x
hy x
y
x
h
y x
y x
hy x
y
x





 





 


 
Picard Yönteminin Sistemlere Uygulanışı : 
'
( , , )
'
( , , )
y
f x y z
z
g x y z





0
0
0
0
( )
( )
y x
y
z x
z


 
koşullarıyla başlangıç değer problemini ele alalım. Picard yöntemini bu sisteme uygularsak ; 

137 
 
 
 
0
0
0
1
1
0
1
1
( )
( ,
,
)
( )
( ,
,
)
x
n
n
n
x
x
n
n
n
x
y x
y
f x y
z
dx
z x
z
g x y
z
dx

















 
temel formülleri elde edilir. 
 
Örnek.    
' 3
' 2
y
y z
z
y

 



 
(0) 1
(0) 2
y
z


 
 
başlangıç değer problemini Picard yöntemi için iki iterasyonda çözünüz. 
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
( )
(3
)
1
(3(1) 2)
1
( )
(2 )
2
2
2 2
x
x
x
x
x
y x
y
y
z dx
dx
dx
x
z x
z
y dx
dx
x



 


 


 
 





 
2
2
0
1
1
0
0
0
2
2
0
1
0
0
( )
(3
)
1
[3(1
) (2 2 )]
1
2
( )
2
2
2(1
)
2 2
x
x
x
x
x
x
y x
y
y
z dx
x
x dx
dx
x
z x
z
y dx
x dx
x x



 
  

  


 

 






 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
8. BÖLÜM 
 
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN İNCELENMESİNDE 
OPERATÖRLERİN KULLANILMASI 
 
 
08.01.Giriş 
Operatörler yani işlemciler matematikte zaman zaman kullanılmakta ve onlar bazı işlemlerin 
daha kolay yapılmasını sağlayabilmektedir. “Operasyonel Hesap” matematikte başlı başına bir 
konu  haline  gelmiş  olup,  operatörlerin  en  önemli  özelliği  cebire ilişkin  tüm  kurallara  uyum 
göstermiş olmalarıdır. 
D
 ile 
d
dx
 
türevi  temsil  edilmiş  olsun.
( )
y
y x

fonksiyonunun
'
dy
y
dx

   türevi  bundan 
yararlanarak 
'
y
Dy

şeklinde ifade edilebilecektir. 
Uyarı: 
D
 operatörü  sadece  işlemi  temsil  ettiğinden  mutlaka ve  mutlaka fonksiyondan  önce, 
yani 
y
nin sol tarafında yazılmalıdır. 
yD
gibi bir yazılımın hiç ama hiç bir anlamı yoktur. 
1
2
3
,
,
D D D  farklı üç operatör ise 
1) 
1
2
2
1
1
2
2
1
(
)
(
)
. )
( . )
D
D y
D
D y
D D y
D D y




 
 
 
Değişme özelliği  
2) 
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
[
(
)]
[(
)
]
[ .( . )]
[( . ). ]
D
D
D y
D
D
D y
D D D y
D D D y






 
Birleşme özelliği 
3)  
1
2