Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Agar (4.3) tenglamaning y₁ va y₂ yechimlari chiziqli erkli bo’lsa , bu yechimlardan tuzilgan W(y₁,y₂) - Vronskiy determinanti xech bir nuktada nolga aylanmaydi.

(4.3) tenglamani integrallashga kirishamiz. Yuqoridagi 1-teoremaga ko’ra bu tenglama umumiy yechimi uning

2ta chiziqli erkli xususiy yechimlari yig’indisidan iborat.
Xususiy yechimni
,k-const
ko’rinishda izlaymiz:
Xosilalarni (4.3) ga qo’yib
( k² +a₁k+a₂)e^kx=0
yoki
k² +a₁k+a₂=0
tenglamani xosil qilamiz.
Bu tenglama (4.3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.



berilgan (4.8) xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’lsin.

1. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ haqiqiy va xar xil sonlar bo’lsin. Bu xolda

y₁ =e^{k x} va y₂ =e^{k x}
funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi.

bo’lgani uchun ular chiziqli bog’liq emas.
Demak, umumiy yechim
y =c₁e^{k x} + c₂e^{k x} .

ko’rinishda bo’ladi.

Misol.
y^’’+y^’-2y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:
k²+ k-2=0
Uni yechib, k₁=1 va k₂=-2 topib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:
y =c₁e^x + c₂e^-2x .

2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ haqiqiy va teng sonlar bo’lsin: k₁=k₂.

Bu xolda k₁=k₂= .
Bitta hususiy yechim ma’lum
y₁ = e^{k x} = e

Ikkinchi xususiy yechimni y₂ =u(x)e^{k x} shaklda izlaymiz:

y₂ ^’ =(u^’ (x) + k₁ u(x))e^{k x} ,

y₂ ^’’ =(u^’’ (x) +2k₁ u^’(x) + k²₁ u(x))e^{k x} .
Bularni (4.3) ga qo’yib va soddalashtirib

(u^’’ (x) +(2k₁+a₁) u’(x) + (k²₁+k₁a₁+a₂) u(x))e^{k x} =0

xosil qilamiz.

k₁= bo’lganda 2k₁+a₁ =0 va k₁- xarakteristik tenglama karrali ildizi bo’lganidan

u^’’ (x) e^{k x} = 0 yoki u^’’ (x) = 0.

Uni integrallab u(x)=Ax+ B ni xosil qilamiz.

Xususiy xolda, A=1 va B=0 deb olish mumkin: u(x)=x.
Demak, ikkinchi xususiy yechim y₂ =xe^{k x} ko’rinishda buladi.
Demak, bu xolda umumiy yechim