Bazi muhim taqsimotlar va ularning sonli xarakteristikalari

BAZI MUHIM TAQSIMOTLAR VA ULARNING SONLI XARAKTERISTIKALARI

Agar elementar hodisalar fazosi diskret bo`lsa, unda aniqlangan tasodifiy miqdor ham diskret bo`ladi.

Endi diskret tasodifiy miqdorlarning eng muhim bir necha misollarini qarab chiqamiz.
1. Binomial taqsimot. Faraz qilaylik n ta bog`lanmagan tajribalr o`tkazilayotgan bo`lsin, har bir tajribada ikki hol bo`lishi mumkin, qanday hodisasi ehtimollik bilan ro`y beradi, ehtimol bilan ro`y bermaydi.
bilan ta bog`lanmagan tajribalarda hodisa ro`y berishlar sonini belgilaymiz hodisasining ehtimoli bizga ma`lumki
(1)
Bunday tasodify miqdorlarga binomial qonun bo`yicha taqsimlangan taodifiy miqdor deyiladi.
2. Geometrik taqsimot. Faraz qilaylik bog`lanmagan tajribalr o`tkazilayotgan bo`lsin, bu tag`ribalarning har birda qandaydir A hodisasi ro`y bersin p ehtimol bilan yoki ro`y bermasin q ehtimol bilan . Tajribalar toki A hodisasi birinchi marta ro`y berguncha o`tkazilsin. U holda tajribalar sonini deb, uning taqsimotini topamiz . Bu holda elementar hodisalar fazosi

bo`ladi.
Agar bo`lsa, tajribaning bog`lanmaganligiga asosan

bo`ladi.
Shunday qilib
(2)
ketma-ketlik geometrik progressiyani tashkil qilganligi uchun (2) ehtimollarga ehtimollikning geometrik taqsimot qonuni deyiladi.
3.Gipergeometrik taqsimot. Faraz qilaylik idishda N ta shar bo`lib, undan n tasi oq, N-n tasi qora bo`lsin. Tasodifiy ravishda k ta shar olindi. -olingan ta sharlar orasida oq sharlar soni bo`lsin u holda bizga ma`lumki
(3)
(3) ehtimollarga ehtimollikning gipergeometrik taqsimot qonuni deyiladi.
4. Puasson taqsimoti. Agar tasodifiy 0,1,2,3,… qiymatlarni

ehtimollar bilan qabul qilsa unga parametr bilan Puasson taqsimotiga ega deyiladi.
5. tasoifiy miqdor qiymatlarni , ehtimollar bilan qabul qilsa, bunday tasoifiy miqdorga tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Agar sanoqsiz bo`lsa, unda aniqlangan har qanday tasodifiy miqdor diskret emas, uzluksiz bo`ladi.
Faraz qilaylik tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsin.
Ta`rif. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
(4)
ko`rinishda yozish mumkin bo`lsa, bu tasodifiy miqdorni absolyut uzluksiz taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
funksiya esa tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi (zichlik taqsimoti) deyiladi.
Uzluksiz nuqtalarida (4) dan
(5)
kelib chiqadi.
Zichlik funksiyasining xossalari bilan tanishib chiqamiz.
1. Zichlik funksiya manfiy emas, ya`ni .
Isboti. Taqsimot funksiya kamaymaydigan funksiya bo`lganligidan, uning hosilasi deyarli barcha nuqtalarda musbat bo`ladi.
2˚. Har qanday uchun
.
Isboti. Taqsimot funksiyaning xossasi va (4) munosabatga asosan, bo`lganligi uchun:

.
ehtimollik , , va chiziqlari bilan chegaralangan figuraning yuziga teng bo`ladi.

Umumiy holda har qanday uchun bo`ladi.
3˚. Zichlik funksiyasidan oraliq bo`yicha olingan integral 1 ga teng:
.
Isboti. (4) va taqsimot funksiyaning xossasiga asosan
.
1˚, 3˚ xossalarni qanoatlantiruvchi har qanday funksiya qandaydir tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi bo`ladi.
Absalyut uzluksiz taqsimot funksiyalar deb zichlik taqsimoti ega bo`lgan tasodifiy miqdorlar taqsimot funksiyalarga aytiladi. Bunday taqsimot funksiyalar (4) ko`rinishda tasvirlanadi. Uzluksiz taqsimot funksiyalar orasida zichlik taqsimotiga ega bo`lmaganlari ham mavjud. Bunday funksiyaga quyidagicha aniqlangan Kontor funksiyasi misol bo`ladi. bo`lsa , bo`lsa va

Zichlik taqsimotiga ega bo`lmagan uzluksiz taqsimot fuksiyaga singulyar deyiladi. A. Lebegga tegishli bo`lgan quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.