Beta va gamma funksialar orasidagi bog’lanish

Beta va gamma funksialar orasidagi bog’lanish.
Biz quyida B(a, b) va Г (a) funksiyalar orasidagi bog’lanishni ifodalay-
digan formulani keltiramiz.
Ma’lumki, Г (a) funksiya (0, + ) da, B(a, b) funksiya esa fazodagi
M = {(a, b) : a , b } to’plam berilgan.
1.1– Teorema. uchun
B(a, b) =
fo’rmula o’rinlidir.
Isbot. Ushbu
( a > 0, b > 0) gamma funksiyada o’zgaruvchni quyidagicha almashtiramiz:
x = (1 + t) y (t > o).
Natijada quyidagiga ega bo’lamiz:



Keyingi tenglikdan quyidagini topamiz:

Bu tenglikning har ikki tomonini ga ko’paytirib, natijani oraliq bo’yicha intigrallaymiz:


Agar

1. 
   formulaga ko’ra
   
   

bo’ladi. Endi (2) tenglikning o’ng tomonidagi integral ga teng bo’lishini isbotlaymiz. Uning uchun, avvalo bu integrallarda integ-
rallash tartibini almashtirish mumkinligini ko’rsatamiz. Buning uchun biz parametirga bog’liq xosmas integrallarni parameter bo’yicha integralash mavzusizdagi (17.19 – teoremadan) foydalanamiz va bu teoremani 1.2 deb belglash kiritamiz.
1.2– Teorema. f(x, y) funksiya to’plamda uzluksiz va

Integrallar mos ravishda [c, + ∞] va [a, + ∞] da tekis yaqinlashuvchi bo’lsin.
Agar

integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u xolda
integrallar yaqinlashuvchi va
bo’ladi.
1.2-Teorema shartlari bajarilishini ko’rsatishimiz kerak.
Dastlab a > 1, b > 1 bo’lgan holni qaraylik.
a > 1, b > 1 da, yani {(a, b) : a , b } to’plamda integral ostidagi

funksiya da uzluksiz bo’lib, bo’ladi.

o’zgaruvchining [0, + ∞) oraliqda uzluksiz fungsiyasi bo’ladi, chunki

Ushbu

integral y o’zgaruvchining [0, + ∞) oraliqdagi uzluksiz fungsiyasi bo’ladi, chunki
va nihoyat, yuqoridagi (2) munosabatga ko’ra
integral yaqinlashuvchi.
U holda 1.2 – Teoremaga asosan integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,
bo’ladi. O’ng tomondagi integralni hisoblaylik:


Natijada (2) va (3) munosabatlardan
=
yani

bo’lishi kelib chiqadi. Biz bu formulani a > 0, b > 0 bo’lgan hol uchun isbotladik.
Endi umumiy holni ko’raylik.
Aytaylik, a > 0, b > 0 bo’lsin. U holda isbot etilgan (4) fo’rmulaga ko’ra

bo’ladi.
va funksiyalarning xossalarida foydalanib quyidagini topamiz:

, ,
Natijada (5) formula quyidagi

ko’rinishiga keladi. Bu esa (4) formula a > 0, b > 0 da ham o’rinli ekanini bildiradi.
2.1 – Natija. uchun
(6)
bo’ladi.
Haqiqattan ham, (4) formula b = 1 – a (0 < a < 1) deyilsa, unda

bo’ladi.
Xususan beta funksiyada b = 1 – a (0 < a < 1) bo’lganda
(7) munosabat o’rinli bo’ladi. (7) va munosabatlarga muofiq
(0 < a < 1).
(6) formula keltirish formulasi deb ataladi.
Misol. Ushbu
integralni hisoblamg.
Yechish. Integralni hisoblaymiz .

[1] integralni bilan belgilab olamiz

Endi S parametirga bog’liq xosmas integral olamiz
bu integral S o’suvchi bo’ladi. [2] integralni S bo’yicha ikkala tomoni ham differensialaymiz
[3] tenglama hosil bo’ladi. [3] tenglamani yechsak

teng bo’ladi. ga tenglasak

[4] tenglamaga kelamiz. Bunda (s = 1) = yani [5] tenglama [2] tenglamaga teng bo’ladi.
Endi [1] integralni yechish uchun [3] integraldan foydalanamiz
bo’ladi. Gamma fungsiyadan foydalanib

[7] da tx = u deb t bo’ycha differensialasak va ni topsak, [7] tenglama


[8] ko’rnishida bo’ladi.Bunda [8] ni chap tomonidagi integral teng.

[8] ni chap tomonidagi integral o’rniga ni qo’ysak

[9] ga teng bo’ladi. Bunda

belgilab, [6] ga quysak

teng.


bo’laklab integralasak

ga teng bo'ladi.

bunda belgilab integralga quysak

deb


[11] ga teng bo’ladi. Bunda [11] ga oborib qo’yamiz

teng bo’ladi.
Agar bo’lsa, [12] tenglamadan s bo’yicha hosila olsak



bunda ga teng


teng bo’ladi. Misol yechildi.