Bir o’zgaruvchili ko’phadlarni bo’lish. Ko’phadni qoldiqli bo’lish Reja

bo`ladi.

Isboti. f=a₀Xⁿ+a₁X^n-1+...+ a_n , g = b₀X^m+b₁X^m-1+...+ b_m bo`lsin, bunda a<sub>0</sub>b<sub>0</sub>0. n bo`yicha matematik induksiya metodini qo`llaymiz. Agar n = 0 va m = degg  degf = 0  u holda q = 0 va r = f deb olamiz agar n = m = 0 bo`lsa u holda r = 0 va q = a₀b₀ deb olamiz . Faraz qilaylik, teorema darajasi n dan kichik darajali ko`phadlar uchun isbitlangan bo`lsin (n  0) .Quyida m  n bo`lsin, aks holda q = 0 va r = f deb olamiz. Bu holda

f = a₀b₀^-1X^n-mg + f₁
deb olamiz bunda degf₁ < n bo`ladi.Induktiv farazimizga ko`ra shunday q₁
va r₁ topish mumkinki ular uchun f₁= q₁g + r₁ bunda degr₁ m, q = a₀b₀^-1x^n-m + q₁ deb olsak, biz f uchun (1) ifodaga kelamiz. Endi bo`linma q va qoldiq r ni yagona ekanligini isbotlaylik: Faraz qilaylik qg + r = f = q<sub>1</sub>g<sub>1</sub> + r<sub>1</sub> bo`lsin. U holda (q₁-q)g = r-r₁ bo`ladi. Ravshanki u holda deg(r-r<sub>1</sub>) = deg(q<sub>1</sub>-q) + degg bo`ladi. Bu esa faqat r va r₁ larni olishimizga ko`ra r<sub>1</sub> = r ва q<sub>1</sub>= q bo`lgandagina bo`lishi mumkin.
Demak  bo`linma q va qoldiq r larni koeffisientlari ham А butunlik sohasida yotadi , ya`ni fgA[x] ekanligidan qrА[x] bo`ladi.
Natija. .P maydon ustidagi ko`phadlar halqasini barcha idеallari bosh idеallardir .
Isboti . T-P[X] halqadagi noldan farqli idеali bo`lsin. T da yotuvch minimal darajali t = t(X) ko`phadni tanlab olamiz. Agar f Т dagi  kophad bo`lsa u holda t ga qoldiqli bo`lish bizga quyidagi tenglikni beradi: f = qt + r  degr  degt
Р ---maydon bo`lgani uchun t(X) ni bosh koeffitsеntini tеskarilanuvchi bo`lishligini talab qilish shart emas. Yuqoridagi tеnglikdan rT chunki ftqt-lar Т ideolning elementlaridir.
t ni tanlab olishimizga ko`ra r = 0 bo`ladi .Demak, f(X) t(X) gab o`linadi va Т= (t) = tP[X] ya`ni Т ideal t(X) gab o`linuvchi ko`phadlardan tuzilgan.