Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

3-MAVZU.

BIRINCHI TARTIBLI CHIZIQLI DIFFЕRЕNSIAL TЕNGLAMALAR. BIRINCHI TARTIBLI CHIZIQLI DIFFЕRЕNSIAL TЕNGLAMALARNI YECHISHNING BERNULLI VA LAGRANJ USULLARI. AMALIY MASALALARNI YECHISH

Nоma`lum funksiya va uning hоsilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan tenglamalar birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deb ataladi.

Chiziqli tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha:

, (3.1)

bu yerda lar x ning uzluksiz funksiyalari(yoki o‘zgarmaslar).

Agar tenglamaning o‘ng tomoni 0 bo‘lsa, (3.1) tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo‘ladi. deb faraz qilamiz.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishning ikki xil usulini ko‘rib chiqamiz:

O‘rniga qo‘yish usuli. Bu usul Bernulli usuli deb ham ataladi. (3.1) tenglamaning yechimini x ning ikkita funksiyasining ko‘paytmasi shaklida izlaymiz:

(3.2)

Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin, ikkinchisini esa (3.1)–tenglama asosida aniqlanadi. (3.2) tenglikdan ni hisoblaymiz:

(3.3)

u va ni (1) tenglamaga qo‘yamiz, natijada u quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

(3.4)

yoki

. (3.5)

Funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin bo‘lgani uchun funksiyani qavs ichida turgan ifoda nolga teng bo‘ladigan qilib olamiz, ya’ni

(3.6)

bo‘lishini talab qilamiz. U holda funksiyani topish uchun (3.5) tenglikdan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

(3.7)

Dastlab, (3.6) tenglamadan ni topamiz:

.

(3.6) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi zarur, shuning uchun C=1 deb olamiz. U holda

. (3.8)

ning bu topilgan ifodasini (3.7) tenglamaga qo‘yib, u funksiya uchun o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:

.

Bu tenglamani yechamiz:

(3.9)

(3.8) va (3.9) lar u va v ning x orqali ifodalarini beradi. u va v ni (3.2)ga qo‘yib, berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz

. (3.10)

1-misоl. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.

► Bеrilgan tеnglama birinchi tartibli chiziqli tеnglama bo‘lib . (3.10) ga asоsan,

Demak, umumiy yеchim

bo‘ladi.◄

O‘zgarmasni variatsiyalash usuli. Bu usul Lagranj usuli deb ham ataladi. Avval (3.1) tenglamaning bir jinsli qismining umumiy yechimini topib olamiz.









<sub>Hosil bo‘lgan umumiy yechimdagi o‘zgarmasni x ning funksiyasi deb olib, (3.1) tenglamaning yechimi bo‘ladigan C(x) ni qidiramiz, ya’ni

(3.11)

funksiyadan berilgan chiziqli differensial tenglamani yechimi bo‘lishini talab qilamiz. U holda

(3.12)

(3.11) va (3.12) lar (3.1) tenglamani qanoatlantiradi.





(3.13)

Endi (3.13) ni (3.11)ga qo‘yib,



yechimni hosil qilamiz, bu esa (3.10) tenglikning ayni o‘zidir.</sub>

2-misоl. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.

►Mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini o‘zgaruvchilarni ajratib topamiz.

Berilgan differensial tenglamaning yechimini ko‘rinishda qidiramiz. Buning uchun va larni berilgan tenglamaga qo‘yamiz.

,

.

Shunday qilib, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi topamiz:

.◄

3-misol. Ushbu differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Auditoriya topshiriqlari

Quyidagi (1-8) tenglamalarning umumiy yechimlarini toping.

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   .
   
4. 
   .
   
5. 
   .
   
6. 
   .
   
7. 
   .
   
8. 
   , noma’lum funksiyani deb hisoblab yeching.
   

Quyidagi (9-12) tenglamalarning berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini toping.

9. 
   .
   
10. 
    .
    
11. 
    .
    
12. 
    .