Bitiruv malakaviy ish mavzuining dolzarbligi: ma’lumki ko’pgina hayotiy masalalarni yechishda matematik modellar quriladi

1.2. Klassik interpolyatsiyalash masalasi

Darajasi n dan yuqori bo’lmagan shunday ko’phad qurilsinki, u berilgan (n+1) ta nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qilsin. Bu masalani geometrik ta’riflash ham mumkin: darajasi dan oshmaydigan shunday ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan ta nuqtalardan o’tsin.

Demak, koeffisentlarni shunday aniqlash kerakki,

ko’phad uchun ushbu

tengliklar bajarilsin. Bu tengliklarni ochib yozsak larga nisbatan noma’lumli ta tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi.

(1.2.3)

bu sistemaning determenanti Vandermond determenantidir: Masala mazmunidan ravshanki, nuqtalar bir-biridan farqli, demak bu determinant noldan farqlidir. Shuning uchun ham sistema va shu bilan birga qo’yilgan interpolyatsiya masalasi yagona yechimga ega. Bu sistemani yechib, larni topib ga qo’ysa, ko’phad aniqlanadi. Biz ning oshkor ko’rinishini topish uchun boshqacha yo’l tutamiz, avvalo oshkor ko’rinishlarni topish uchun boshqacha yo’l tutamiz, avvalo fundamental ko’phadlar deb atluvchi larni, ya’ni

shartlarni qanoatlantiradigan n-darajali ko’phadlarni ko’ramiz. U holda

(1.2.4)

izlanayotgan interpolyatsion ko’phad bo’ladi. Haqiqatdan ham barcha

lar uchun

va ikki tomondan darajali ko’phaddir.

Endi ning oshkor ko’rinishini topamiz, bo’lganda shuning uchun ham ko’phad bo’lganda ga bo’linadi. Shunday qilib, darajali ko’phadning n ta bo’luvchilari bizga ma’lum, bundan esa

kelib chiqadi. No’malum ko’paytuvchi ni esa

shartdan topamiz ,natijada:

bu ifodani ga qo’yib kerakli ko’phadni aniqlaymiz:

(1.2.5)

bu ko’phad Lagranj interpolyatsion ko’phadi deyiladi.

Bu formulaning xususiy hollarini ko’raylik: bo’lganda Lagranj ko’phadi ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq formulasini beradi:

Agar bo’lsa, u vaqtda kvadratik interpolyatsion ko’phadga ega bo’lamiz. bu ko’phad uchta nuqtadan o’tuvchi va vertikal o’qa ega bo’lgan parabolani aniqlaydi