Cbms-nsf regional conference series in applied mathematics

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Kuchment, Peter, 1949- author.
The radon transform and medical imaging / Peter Kuchment.
p. ; cm. -- (CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics ; 85)
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-1-611973-28-0
I. Society for Industrial and Applied Mathematics, issuing body. II. Title. III.
Series: CBMS-NSF regional conference series in applied mathematics ; 85.
[DNLM: 1. Tomography--methods--Lectures. 2. Mathematics--Lectures. 3.
Radon--Lectures. WN 206]
RC78.7.U4
616.07'543--dc23
2013038338
is a registered trademark.
CB85_Kuchment_FM.indd 6
11/20/2013 2:43:28 PM
Downloaded 11/25/23 to 84.54.70.76 . Redistribution subject to SIAM license or copyright; see https://epubs.siam.org/terms-privacy

---

Dedicated to the memory
of Leon Ehrenpreis,
Larry Shepp, 
Iosif Shneiberg, 
dear friends and mathematicians.
W
CB85_Kuchment_FM_REV.indd 7
12/4/2013 1:54:14 PM
Downloaded 11/25/23 to 84.54.70.76 . Redistribution subject to SIAM license or copyright; see https://epubs.siam.org/terms-privacy

---

Contents
List of Figures
xiii
Preface
xv
I
Introduction
1
1
Why Use Mathematics in Medical Imaging?
3
1.1
Types of medical imaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Tomography. Computed tomography (CT). Inverse problems
3
1.3
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
General types of CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
What kind of mathematics is involved? . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
A Brief and Incomplete History of CT
7
3
Some Major CT Modalities and Their Features to Watch for
11
3.1
Tomographic modalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2
What features one should pay attention to? . . . . . . . . . . . . . 12
3.3
PDE classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4
Organization of the Book
15
II
Traditional Computed Tomography Techniques and Integral Ge-
ometry
19
5
“Standard” CT and X-ray and Radon Transforms
21
5.1
X-ray projection imaging: X-ray pictures and “old” tomography 21
5.2
X-ray CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3
Beer’s law and the X-ray
/
Radon transforms . . . . . . . . . . . . 23
5.4
Some notation and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5
Properties of X-ray (
=
Radon) transform in two dimensions . 30
5.6
Backprojection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.7
Inversion formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ix
Downloaded 11/25/23 to 84.54.70.76 . Redistribution subject to SIAM license or copyright; see https://epubs.siam.org/terms-privacy

---

x
Contents
5.8
Stability of inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.9
Fourier series and Cormack inversion formulas . . . . . . . . . . 44
5.10
Range conditions for the Radon transform . . . . . . . . . . . . . 45
5.11
Support (or “hole”) theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.12
Chapter’s final remarks and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . 48
6
Emission Tomography
53
6.1
Radiative transfer (transport) equation (RTE) . . . . . . . . . . . 53
6.2
Attenuated X-ray transform and SPECT (single photon emis-
sion computed tomography) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3
PET (positron emission tomography) . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4
Chapter’s final remarks and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . 60
7
Artifacts, Incomplete Data, Microlocal Analysis, and Such
65
7.1
Some common artifacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2
Microlocal detection of singularities: Wavefront sets of dis-
tributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3
Detection of singularities, stability, and incomplete data prob-
lems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4
Local (high frequency) tomography—Sharpening singularities 72
7.5
Chapter’s final remarks and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . 73
8
More about 3D Radon and X-ray Transforms
77
8.1
3D Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2
X-ray transform: Overdetermined parametrization and John’s
equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3
Projectivization,
κ
-operator, and such . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.4
Fully 3D X-ray CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9
A Brief Overview of Numerical Methods
83
9.1
Analytic techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2
Algebraic reconstruction techniques (ART) . . . . . . . . . . . . 84
9.3
Optimization techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4
Statistical techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.5
Parametrix
+
ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.6
Some MATLAB
®
sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.7
Numerical techniques for inverse problems . . . . . . . . . . . . . 86
10
MRI, EIT, OT, Elastography, UT
87
10.1
MRI (magnetic resonance imaging) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.2
EIT (electrical impedance tomography) . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.3
Optical tomography (OT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.4
Elastography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.5
Ultrasound imaging and tomography (UT) . . . . . . . . . . . . . 91
Downloaded 11/25/23 to 84.54.70.76 . Redistribution subject to SIAM license or copyright; see https://epubs.siam.org/terms-privacy

---

Contents
xi
III
Hybrid (Coupled Physics) Imaging Techniques
93
11
Thermo-, Photo-, and Optoacoustic Tomography (TAT
/
PAT
/
OAT) 97
11.1
Mathematical model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.2
Analysis of TAT: Acoustically homogeneous medium case . . . 105
11.3
Analysis of TAT: Acoustically inhomogeneous media . . . . . . 116
11.4
Reconstruction methods in TAT
/
PAT . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.5
Chapter’s final remarks and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . 137
12
Ultrasound Modulation in EIT and OT
141
12.1
AET (acousto-electric tomography) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.2
Synthetic focusing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.3
Ultrasound modulated optical tomography (UMOT) . . . . . . 147
12.4
Chapter’s final remarks and conclusions . . . . . . . . . . . . . . . 149
13
Inverse Problems with Interior Information
151
13.1
The QPAT example worked out (well, sketched) . . . . . . . . . 154
13.2
Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.3
Generic linearized uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
IV
Appendices
157
A
Notation
159
A.1
Sets, vectors, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.2
Multi-index notation and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.3
Some useful functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.4
Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.5
Some linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B
Brief Notes on the Fourier Transform and Harmonic Analysis
165
B.1
Harmonic analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.2
Fourier series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.3
Properties of Fourier series expansions . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.4
Smoothness of