Chegirmalar nazariyasi

Lemma (K. Jordan). Agar aylana yoylarining biror ketma-ketligi
da g(z) funksiya ga bog’liq ravishda nolga tekis yaqinlashsa, u holda ixtiyoriy musbat son uchun

(9)
bo’ladi.

va deb belgilaylik. Lemma shartlariga asosan da ga, ham 0 ga intiladi, bo’lgani sababli. bo’lsin; va yoylarda (2.2.1-chizma) biz ga ega bo’lamiz, shunday qilib

va bu yoylardagi integrallar bo’lganda 0 ga intiladi.
tengsizlikning aniqligi asosida, da biz yoyda (1-chizma)

degan qarorga kelamiz, shunday qilib

1- chizma yarim aylana konturi

va ham bo’lganda 0 ga intiladi. Agar vatardan soat strelkasi bo’ylab manfiy o’qdan qutb burchagini hisoblasak, unda uchun ham xuddi shunday bah ova lemmaning tasdig’i isbot bo’ladi. bo’lgan holda isbot soddalashadi. Lemma to’liq isbotlandi.
Lemmadagi aylanalarning yoylari ketma-ketligini yoylari oilasiga almashtirish mumkin. Agar funksiya da nolga intilsa, unda ixtiyoriy musbat son uchun
(2.2.6)
o’rinli bo’ladi. Bu hol uchun ham yuqorida islotlaganimiz o’rinli bo’ladi.
O’zgaruvchini bilan almashtirsak, unda lemmadagi aylana yoyi (2-chizma) yoy bilan almashadi va biz ixtiyoriy da 0 ga intiladigan funksiya uchun va ixtiyoriy musbat uchun
(10)



2-chizma aylana konturi
o’rinli bo’ladi.
(10) dagi ni ga almashtirib, yana shu shartlar asosida, ixtiyoriy manfiy uchun
(11)
ni olamiz. Bu yerda (2-chizma) aylanadagi yoy.
Biz chegirmalar nazariyasi yordamida hisoblanadigan integrallarni hisoblashning umumiy usulini aniq bir misollarda yaqqol ko’rsatib o’tamiz. Biz ishni sinusli yoki kosinusli kasr-ratsional funksiyalarning hosilasi integralarini hisoblashdan boshlaymiz.
Ratsional funksiya ning oraliq bo’yicha aniq integrali

(12)
ushbu

almashtirish yordamida kompleks o’zgaruvchili funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha olingan integraliga keladi.
Avvalo shuni aytish kerakki, (12) almashtirishda o’zgaruvchi 0dan gacha o’zgarganda z o’zgaruvchi musbat yo’nalishda olingan birlik aylana
ni hosil qiladi
Ravshanki,
(13)

bo’lib,

ya’ni
(14)
bo’ladi. Natijada

bo’lib, qaralayotgan aniq integral ratsional funksiyaning aylana bo’yicha olingan integraliga keladi:

Bu tenglikdagi

integral uchun, chegirmalar haqidagi teoremaga muvofiq

bo’ladi.Bu yerda lar funksiyaning birlik aylana ichida joylashgan maxsus nuqtalari.
Misol. Ushbu

integralni hisoblang
Bu integralda almashtirish bajarib, (12) va (13) munosabatlardan foydalanib

(15)
bo’lishini topamiz. Integral ostidagi

( )
funksiyaning ikkita
,
Maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan birlik aylana ning ichida joylashgandir. Demak,
(16)
bo’ladi.
Endi (8) formuladan foydalanib, chegirmani hisoblaymiz:

= (17)
(15),(14) v a(17) tengliklardan

bo’lishini topamiz.
Misol. Ushbu

integralni hisoblang.
B u integralda almashtirish bajarib, (12) va (13) munosabatlardan foydalanib topamiz:

(18)

integral ostidagi

funksiyaning 3 ta

maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan
lar
aylana ichida joylashgan.
Demak,

(19)

Endi (3) formuladan foydalanib, chegirmalarni hisoblaymiz:

=-1,

= (20)

bo’lishi kelib chiqadi
ko’rinishdagi integrallarni hisoblash. Aytaylik, o’zgaruvchining ratsional funksiyasi bo’lgan

bo’lib, bunda va lar mos ravishda va darajali ko’phadlar, va bo’lsin. funksiya haqiqiy o’qda qutb nuqtaga ega bo’lmasin.
Markazi kordinanatalar boshida radiusi bo’lgan aylananing yuqori yarim tekislikdagi qismi hamda haqiqiy o’qning kesmasidan tashkil topgan yopiq egri chiziqni olamiz
Ravshanki,

So’ng

ratsional funksiyani qaraymiz.
Endi radiusni shunday katta qilib olamizki, funksiyaning barcha yuqori yarim tekislikdagi maxsus nuqtalari shu yopiq egri chiziq ichida joylashsin.
Chegirmalar haqidagi teoremaga ko’ra
(21)
bo’ladi.Bu yerda lar funksiyaning yopiq egri chiziq ichidagi maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari).
Ravshanki,
(22)
bo’ladi. (15) va(16) munosabatlardan

(23)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi

Integralni baholaymiz.
Agar

=

hamda bo’lishini e’tiborga olsak, unda ning yetarlicha katta qiymatlarda

bo’lishini topamiz.Natijada

bo’ladi. Keyingi (22) munosabatdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi tenglikdan da limitga o’tib topamiz:
(24)
Demak, funksiya yuqorida aytilgan shartlarni qanoatlantirsa, unda

Integral R(z) funksiyaning yuqori yarim tekislikdagi barcha maxsus nuqtalaridagi chegirmalar yig’indisini ga ko’paytirilganiga teng bo’lar ekan.

ham yoziladi.


Xulosa
Ko’plab sohalardagi jarayonlarning matematik modeli oddiy yoki hususiy hosilali differensial tenglamalar nomi bilan yuritiladi. Eng ko’p tarqalgan Koshi masalasi bu boshlang’ich shart bilan berilgan masalalardir. Ana shu boshlang’ich shartlar asosida masalani yechish jarayoni osonroq bajariladi. Boshqa turdagi masalalalar chegaraviy masalalar -mahsus uslublar yordamida yechiladi, xususan ularning ba’zilari unga ekvivalent bo’lgan boshlang’ich shartli masalalarga keltirilib yechiladi. Bunday masalalarni yechish usullarining ikkita guruhi mavjud: bir qadamli va ko’p qadamli usullar yordamida taqribiy yechish masalasi qaraladi. Ikkinchi guruhga kiruvchi usullar funksiyaning keyingi nuqtadagi qiymatini topish uchun bir nechta nuqtadagi qiymatlari berilishini talab qiladi. Bu ikkinchi guruhga kiruvchi usul yordamida yuqori tartibli differensial tenglamalarning Koshi shartini bajarishda qo’llaniladi.
Men ushbu kurs ishini tayyorlash jarayonida dastlab shu mavzuga oid adabiyotlar, manbalar to’pladim. Yuqori tartibli differentsial tenglamalarni yechimini topish usullariga doir ma`lumotlar bilan tanishib chiqdim. Yuqoridagi bandlarda Yuqori tartibli differentsial tenglamalar, tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan tenglamalar, Lagranj va Klero tenglamalari haqida aytib o’tildi. Va ulardan ko’rinib turibdiki yuqori tartibli differentsial tenglamalarni yechishda asosan ularning tartibi pasaytirilib, Lagranj yoki Klero ko’rinishidagi tenglamaga olib kelinadi va keyin yechimi topiladi. Mavzu bevosita Lagranj va Klero tenglamalari mavzulari bilan bog’liq. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan.