Mavzu: Algebraik va transsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari.
Algebraik yoki transendent tenglamalarni f(x)=0 ko’rinishda ifodalab ularni sonli yechishni bir nechta usullarini qarab chiqamiz.
f(x)=0 tenglamani [a,b] oraliqda yechimini izlaymiz.
Masalan: x3- 40∙x=-4 tenglamani quyidagicha yozamiz.
Teorema1. Agar f(x) funksiya oraliqning chetki nuqtalarida turli xil ishora qabul qilsa yani f(a)f(b)<0 bo’lsa, unda bu oraliqda tenglamani yechimi mavjud bo’ladi. Agar funksiyani birinchi tartibli hosilasi fʹ(x) mavjud bo’lib u oraliqni chetki nuqtalarida monoton bo’lsa unda tenglama bu oraliqda yagona yechimga ega.
Teorem2. Agar f(x) funksiya oraliqning chetki nuqtalarida turli xil ishora qabul qilsa, unda bu oraliqda tenglamani ildizlarini soni toqdir. Agar f(x) funksiya oraliqning chetki nuqtalarida bir xil ishora qabul qilsa, unda bu oraliqda tenglamani ildizlari yotmaydi yoki ularni soni juftdir.
Algebraik tenglama ildizlarini chegarasini
Aniqlash, ildizlarini ajratish.
(1)
Algebraik tenglama uchun bo’lsin, u holda (1) tenglamaning barcha ildizlari halqa ichida yotadi. r va R sonlari tenglamaning musbat ildizlari quyi va yuqori chegarasi bo’ladi. -R va -r sonlari tenglamaning manfiy ildizlari quyi va yuqori chegarasi bo’ladi.
Nyuton teoremasi: biror c>0 da P(x) ko’phad va uning barcha hosilalari nomanfiy bo’lsa, u holda P(x)=0 tenglama musbat ildizlarining yuqori chegarasi x+≤R=c bo’ladi.
Misol: P(x)=x3-2x2-3
Dekart teoremasi: (1) ko’rinishdagi tenglamaning koeffisiyentlari ketma-ketligida ishora almashinishi soni qancha bo’lsa tenglamaning shuncha musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashinishlar sonidan juft songa kam.
Shturm teoremasi.
(1)
tenglama karrali ildizga ega bo’lmasin. P1(x) orqali P`(x) hosilani, P2(x) orqali P(x) ni P`(x) ga bo’lishdan qoladigan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, P3(x) orqali P1(x) ni P2 (x) ga bo’lishdan qoladigan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, va hokazo. Bu jarayonni to qoldiqda Pk(x)=const o’zgarmas son qolguncha davom ettiramiz.
P(x), P1(x), ....,Pk(x) Shturm ketma-ketligini hosil qilamiz.
Endi (1) ko’rinishdagi tenglama (a,b) oraliqda nechta haqiqiy ildizga ega ekanligini aniqlash uchun, x=a da Shturm ketma-ketligidagi ishora almashishlar soni A ga teng bo’lsin, x=b da Shturm ketma-ketligidagi ishora almashishlar soni B ga teng bo’lsin, haqiqiy ildizlar soni
| A-B | ga teng.
Misol: P(x)=x3+6x2-6 [-2;2]
usul. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli.
Bu usul yordamida birinchi tenglamani ildizlari yotgan oraliq [a,b] topiladi grafik usulda. So’ngra oraliq teng ikkiga bo’linadi va tenglama yechimi qaysi oraliqdaligi aniqlanadi va yana shu algoritm davom ettirilaveriladi toki yechim berilgan xatolik bilan topilguncha.
2-usul. Oddiy iteratsiya usuli.
f(x)=0 tenglama unga ekvivalent bo’lgan x=y(x) ko’rinishga keltiriladi x0 – boshlang’ich yaqinlashish tanlanadi, keyingi xn+1 yaqinlashishlar ushbu rekurent formula orqali topiladi.
xn+1=y(xn) , n=1,2,3….
{ xn } ketma ketlik yaqinlashishining yetarli sharti
Masalan tenglamadagi funksiya f(x)=x4-5x2+8x-8 bo’lsin va tenglama ildizi E=10-3 aniqlikda topilishi talab qilinsin.
x0=1.7
Demak ushbu ko’rinish yaqinlashish shartini qanoatlantiryapti. Endi E aniqlik bilan yechimni topish uchun kerak bo’ladigan iteratsiyalar sonini aniqlaymiz.
Tengsizlikni yechib N – ni aniqlaymiz
Dostları ilə paylaş: |
