Chiziqli erkli va chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasi so n lar berilgan b o 'Isa, a jtfi + a 2 C12 + + Ana n vektor a\,C ,Cln vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi

Chiziqli erkli va chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasi so n lar berilgan b o 'Isa, A jtfi + A 2 C12 + ... + Ana n vektor a\,Cl2,.--,Cln vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi. Chiziqli kombinatsiyada qatnashayotgan sonlaming birortasi noldan farqli bo‘lsa, u notrivial chiziqli kombinatsiya deb ataladi. T a’rif. Berilgan | a\,Q 2 ,Ct3 a n ( vektorlar oilasi uchun kamida bittasi noldan farqli bo ‘Igan A [ , Ao,---, A n sonlar mavjud bo‘lib, tenglik o'rinli bo'Isa, \ a\,a2,Cl3, . . . , a n j vektorlar oilasi chiiqli bog'lanishli deyiladi. Izoh. V ektorlar oilasi chiziqli bogManishli b o ‘lsa, uning birorta notrivial chiziqli kombinasiyasi nol vektor bo‘ladi. 1-teorema. Ikkita vektordan iborat oila chiziqli bog'lanishli bo‘lishi uchun bu oila vektorlariming kollinear bo ‘lishi zarur va yetarlidir. Isbot. Oilaga tegishli ikkita a va £ vektorlar chiziqli bog'lanishli b o ‘lsa, k a m id a b itta s i n o ld a n fa rq li A\, Aosonlari m av ju d b o ‘lib , A{a + Aob = 0 te n g lik b a ja rila d i. A g a r A j ^ O b o ‘lsa, a = — (Aj / A-> )b tenglikni hosil qilam iz. Bu esa birinchi tasdiqqa ko'rafi! va b vektorlarning kollinear ekanligini ko‘rsatadi. Va aksincha, a va b vektorlar kollinear bo'lsin. Ularning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirsak, ular bitta to ‘g‘ri chiziqda yotadi. Bu to'g'ri chiziqda vektorlar boshi joylashgan nuqtani koordinata boshi sifatida olib, koordinatalar sistemasini kiritamiz. Vektorlarning oxirlarini A va В v e k to rla r o ila si v aw ta A] Cl l + Ao Cl2 + ... + A n Cl)7 — 0 harflar bilan belgilaymiz: a = OA , b = OB ■ Vektorlardan bittasi, misol uchun a noldan farqli vektor bo‘lsin. Dem ak, а Ф 0 va О nuqta AB kesmani biror A nisbatda bo‘ladi: BO!OA = X yoki BO = XOA Endi b=-Xa tenglikni ko‘rsatamiz. Agar a, b vektorlar yo'nalishi bir xil bo‘lsa, О nuqta AB kesmaga tegishli emas va X 0 bo'ladi. Shuning uchun b va - Xa vektorlaming yo‘nalishlari bir xil. Ularning uzunliklari ham teng: I 6 | = I BO | = | X | | OA | = | X | | a | = | -Xa |- D e m a k , bu v e k to rla r te n g d ir. E n d i b =~ Xa tenglikdan — Xa + b = 0 tenglik kelib chiqadi. D em ak, a va& vektorlar chiziqli bog‘lanishli oilani tashkil qiladi. 2-teorema. 1) Vektorlar oilasiga no! vektor tegishli b o ‘Isa, bu oila chiziqli bog'lanishlidar. 2) Vektorlar oilasi birorta chiziqli bog'lanishli vektorlar oilasini o ‘z ichiga olsa, bu oila ham chiziqli bog‘lanishlidir. Isbot. 1) Berilgan j а \ ,а 2 ,а з,...,а п } oilada сц = 0 bo'lsa, Xj = 0 , X j = \ , i Ф j so n la r u c h u n X ^ a ^ + X ^ ai2 + X ^ a i + . . . + + X-t a j m = 0 tenglik o'rinli bo‘ladi. 2) B erilg a n [а\,а2,аз,...,ап } O ilada b ir n e c h ta , к = m < n, vektorlar chiziqli bog'lanishli oilani tashkil qilsa, ularning birorta notrivial chiziqli kombinatsiyasi nol vektor bo‘ladi: h a h + 4 + Л} Gi + . . . + Aj a\ — 0 6-chizma. Biz agar= Ajt , j = j k va = 0 , j Ф j k tengliklar bilan n ta Xu h , h , - , К sonlarni aniqlasak Aj ci j + A2 ci ? + Д3 a , + ... + A n ci ^ = 0 tenglikni hosil qilamiz. 3-teorema. Uchta vektordan iborat oila chiziqli bog‘lanishli bo'lishi uchun ulaming komplanar bo ‘lishi zarur va etarlidir. Isbot. Oilaga tegishli uchta a, b va с vektorlar chiziqli bog‘lanishli bo'lsa, ulam ing kom planarligini isbotlavmiz. Chiziqli bog‘lanishlikning ta ’rifiga asosan, kamida bittasi noldan farqli cc,(3,y sonlar uchun a a + f3b + у с = О tenglik o ‘rinli bo‘ladi. Aniqlik uchun a noldan farqli bo‘lsin, unda aw algi tenglikdan а - р т с = -----a ------ о 7 7 С - Л a + f.lb tenglikni hosil qilamiz. Agar a ,b va с vektorlaming boshi bitta um um iy О nuqtaga joylashtirilgan bo‘lsa, oxirgi tenglikdan С vektor X a va f i b vektorlarga qurilgan parallelogramm diagonaliga tengligi kelib chiqadi. Bu esa ular bitta tekislikda yotadi deganidir, demak, ular kom planar vektorlardir. Va aksincha, a ,b va с vektorlar kom planar bo‘lsin. Ular chiziqli bog'liqligini isbotlaymiz. Berilgan uchta vektorlar orasida kollinear vektorlar bo'lgan holni chiqarib tashlaymiz. 1-teorem aga asosan, ushbu vektorlar jufli chiziqli bog‘lik bo‘lar edi va berilagan uchta vektor ham chiziqli bog'liqligi kelib chiqar edi. Shuning uchun a , b va с vektorlar orasida hech bir jufli kollinear bo‘lmagan holni ko‘rib chiqamiz (xususan, ular orasida nol vektor ham y o ‘q). V ektorlarni bitta tekislikka ko‘chirib, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtiram iz (6-chizm aga qarang). Keyin с vektorning С uchi orqali a va b vektorlarga parallel to ‘g‘ri chiziqlar o'tkazamiz, a vektor yotganto‘g‘ri chiziqning b vektorga parallel to ‘g‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasini A deb belgilaymiz va b vektor yotgan to ‘g‘ri chiziqning a vektorga parallel to ‘g ‘ri chiziq bilan kesishish nuqtasini В deb belgilaymiz. (Ushbu nuqtalarning mavjudligi, a va b vektorlar kollinear emasligidan kelib chiqadi). Vektorlarni qo‘shishning parallelogram m qoidasiga ko‘ra с vektor OA va OB vektorlar yig‘indisiga teng, ya’ni c - OA + OB tenglik o ‘rinlidir. OA vektor noldan farqli a vektorga kollinear (u bilan bir to ‘g‘ri chiziqda yotuvchi), dem ak, shunday Д haqiqiy son topiladiki, OA = Ла tenglik o ‘rinli b o ‘ladi. Xuddi shunga o'xshash, OB = ЛЬ tenglik ham o'rinli. Bu tengliklardan c = A a + jub te n g lik k elib c h iq a d i. O x irg i te n g lik n i A # + + (—l ) c = 0 ko'rinishda yozib olish m um kin. Bu tenglikdagi X, (J, va —1 sonlarning kam ida bittasi noldan farqli b o ‘lganligi sababli, oxirgi tenglik a ,b va С vektorlaming chiziqli bog'lanishligini ifodalaydi. Teorem a isbotlandi. 1-natija. Agar a ,b va с vektorlar komplanar bo ‘Imasa, ular chiziqli erkli bo ‘ladilar. 2-natija. Ixtiyoriy uchta komplanar bo‘Imagan vektorlar orasida ikkita kollinear vektorlar bo ‘la olmaydi. Shuningdek ular orasida nol vector ham bo ‘Imaydi.