Chiziqninig urunmasi va normal tekislig

Chiziqninig urunmasi va normal tekislig
Ta’rif. Chiziqning berilgan nuqtasidagi urinma vektori bo’ylab ketgan to’g’ri chiziq – chiziqning shu nuqtasidagi urinmasi deb ataladi.
Biroq chiziqning tenglamasi r = r(t) yoki x = x(t), y= y(t), z=z(t) va undagi biror nuqtadagi koordinatalari bo’lsin. t = qiymatida deylik (39 - rasm). Chiziqning nuqtasida o’tkazilgan urinma – vektor yoki qisqacha + bo’ladi. Chiziqning nuqtasidagi urinmaning tenglamasini tuzish uchun, bu urinmada ixtiyoriy M (x, y, z,) nuqtani olamiz. M o’zgara borganda vector urinma chiza boradi. o’zaro kollinear vektorlar, ya’ni =ℷ dir. Shu sababli, urinmaning vektor shaklidagi ko’rinishi:
r =
bo’ladi. Bu ko’rinishdan koordinata ko’rinishiga o’tish mumkin. Buning uchun r - va vektorlarning kollinearlik shartini yozamiz:
x
.
Bu tenglamalardan ℷ ni yo’qotsak, chiziqning 39-rasm
nuqtasidan o’tgan urinmaning tenglamalari kelib chiqadi:
. (1)
Agar chiziq XOY tekisligida yotgan bo’lsa, urinmaning tenglamasi

bo’ladi, bundan yoki ni argument deb olsak; bo’lib, urinma tenglamasi

ko’rinishni oladi.
Tekislikdagi chiziqning tenglamasi

shaklda berilgan bo’lsa, urinmaning tenglamasi

bo’ladi. Chiziqning tenglamalari

Ko’rinishga ega bo’lsa, ni parametr deb, ning funksiyalari deb qarab, berilgan tenglamalardan hosila olamiz:


Bunga ning koordinatalarini qo’yib, larni topamiz. Topgan qiymatlarni va ni (1) ga qo’ysak va soddalashtirsak, urinmaning tenglamalari ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:
Urinmaning birlik vektori ga tengdir. Bu vektorni bilan belgilaymiz: .
Misol. Chiziqning nuqtasidan o’tgan urinma bilan koordinata o’qlari orasidagi burchaklar aniqlansin.
Yechish. Urinmaning birlik vektori bilan koordinata o’qlari orasidagi α, β, γ burchaklarni topsak kifoya qiladi:



Demak .


Ta’rif : chiziqning nuqtasidan o’tib , shu nuqtadagi urunmaga perpendikual bo’lgan tekislik chiziqning nuqtasidagi normal tekisligi deyiladi .
Chiziqning nuqtasidagi urunmaga perpendikular bo’lib , nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq berilgan chiziqning nuqtadagi normali deyiladi .
Chiziqning normallari normal tekislikni tashkil qiladi (40-chizma).
Chiziqning normal tekislikining tenglamasini yozish uchun , uning ixtiyoriy nuqtasini olib , vektorni tuzamiz . vektor normal teksilikda yotganligi uchun, u urunmaga perpendicular bo’ladi . Shuning uchun va vektorlarning skalyar ko’paytmasi 0 ga teng : ( . Endi


Ana shu tenglama chiziqning nuqtasidagi normal tekisligini ifodalaydi .
Chiziq tekisligida yotsa uning normali faqat bitta bolib , bu normal tenglamasi ko’rinishiga ega bo’ladi .
Misol. , chiziqning qiymatiga mos nuqtadagi urunma va normal tekisligining tenglamalari topilsin.
Yechish : ga mos nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz bunig uchun tenglamalarda o’rninga ni qo’yib qiymatlarini topamiz Demak va qiymatlarini topamiz bularni (1) tenglamaga qo’ysak urunmaning tenglamalari quydagi ko’rinishda bo’ladi. topilgan qiymatlarni chiziqning normal tekisligi tenglamasiga qo’ysak : kelib chiqadi .
Misol. nuqtasidagi urunma va normal tekisligi topilsin.
Yechish. O’zgaruvchi ni ikkala tenglamada ham ishtirok etadi . Shuning uchun ni parametr sifatida olish mumkin , bundan bo’ladi ; qiymatlarini topamiz ; . Natijada urunmaning quydagi tenglamalarni hosil qilamiz : yoki . Normal tekislikning tenglamasi esa yoki bo’ladi.
Agar chiziq tekislikda berilgan bo’lsa , ba’zi kesmalarni chunonchi , larning uzunliklarini topish oson. Bu yerda normal kesmasi, urunma kesmasi , urunma osti , normal osti deyiladi.
ekanligini bilamiz . ∆ dan Bundan va

Yani ∆ dan yoki
; yani bo’ladi .
Misol . Har bir nuqtasidagi urunma uzunligi o’zgarmas bo’lgan chiziq topilsin.
Yechish .Urunma uzunligini α bilan belgilaymiz . Masalaning shartiga asosan ,
Bu tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarib , soddalashtiramiz ;
(1)
Bu misolda aniq nuqta berilmagan , shunig uchun (1) ni shaklda yozish mumkin. Bundan


ikkla tomonidan aniqmas integral olamiz
. Bu chiziq traktrisa deb ataladi . Traktrisa Lobochevskiy geometryada kata ahamyatga ega .