D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

4.9-§. To’g’ri chiziqning tekislik bilan kesishishi

Agar to’g’ri chiziq tekislikka parallel yoki tegishli bo’lmasa bu to’g’ri chiziq tekislik bilan kesishadi.
To’g’ri chiziq tekislik bilan kesishishi natijasida nuqta hosil bo’ladi.
Bu nuqtani aniqlash uchun qo’yidagi yasash algoritmlaridan foydalanadi (4.40-rasm)

• 
  Berilgan A to’g’ri chiziqdan yordamchi S tekislik o’tkaziladi: A  S
  
• 
  P va S tekisliklarning l kesishish chizig’i yasayladi: S ∩ R = l
  
• 
  a to’g’ri chiziqning l bilan kesishgan nuqtasi K = a∩l bo’ladi.
  

4.40-rasm 4.41-rasm
Natijada, K nuqta A to’g’ri chiziqqa va P tekislikka tegishli umumiy nuqta bo’ladi. Odatda, yordamchi S tekislikni proeksiyalovchi vaziyatda o’tkaziladi.
Chizmada a(a′, a″) to’g’ri chiziqning P(P_H, P_V) tekislik bilan kesishish nuqtasi K ning K′ va K″ proeksiyalarini yuqorida keltirilgan yasash algoritmlari bo’yicha aniqlaymiz (4.41-rasm). Buning uchun:

• 
  To’g’ri chiziqning a′ proeksiyasidan yordamchi gorizontal proeksiyalovchi S tekislikning S_H izini o’tkaziladi.
  
• 
  S va P tekisliklarning kesishuv chizig’ining l′ va l″ proeksiyalarni yasaladi. Buning uchun tekisliklar izlarining kesishish nuqtalarining proeksiyalari M′, M″ va N′, N″ dan foydalaniladi.
  
• 
  a to’g’ri chiziqning frontal a″ proeksiyasi S va P tekisliklarning kesishish chizig’i l ning frontal l″ proeksiyasi bilan kesishib K nuqtaning K″ proeksiyasi aniqlanadi: K″ = a″∩ l″.
  

K nuqtaning K′ proeksiyasi tekislikning S_H iziga yoki A to’g’ri chiziqning a′ proeksiyasiga tegishli bo’ladi: K′a′ va K′S_H.
Yuqoridagi misolni A to’g’ri chiziq orqali frontal proeksiyalovchi tekislik o’tkazish yo’li bilan ham echish mumkin.
P(m∩n) tekislik bilan A to’g’ri chiziqning K kesishish nuqtasining proeksiyalari 4.42-rasmdagi rasmda A to’g’ri chiziq orqali S(S_H) gorizontal proeksiyalovchi tekislik o’tkazish bilan aniqlangan. 4.43-rasmda m to’g’ri chiziq orqali S(S_V) frontal proeksiyalovchi tekislik o’tkazish yo’li bilan aniqlangan.

4.42-rasm 4.43-rasm

Ayrim hollarda to’g’ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasi mazkur tekislikni ifodalovchi chegaralangan ABC tekis shaklning tashqarisida bo’lishi mumkin (4.44-a,b rasm). Bunday hollarda tekislikni chegaralanmagan geometrik sirt ekanligini esda tutish lozim.

a) b)
4.44-rasm
To’g’ri chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini yasash algoritmidan foydalanib, turli gemetrik tekis shakllarning o’zaro kesishish chiziqlarini yasash mumkin. Masalan, 4.45-rasmda ABC (A′B′C′, A″B″C″) va DEF (D′E′F′, D″E″F″) uchburchaklar bilan berilgan tekisliklarning o’zaro kesishish chizig’ining proeksiyalari KL(K′L′, K″L″) yasalgan.
ABC va DEF tekisliklarning kesishish chizig’ining yasash uchun ulardan birini, masalan, DEF ning EF va ED tomonlarining ABC tekislik bilan kesishish K(K′, K″) va L(L′, L″) nuqtalarini aniqlanadi.
Buning uchun uchburchakning EF tomonidan yordamchi T(T_V) frontal proeksiyalovchi tekislik o’tkaziladi. Bu tekislikni ABC tekislik bilan kesishish 12 chizig’ining proeksiyalari 1′2′ va 1″2″ bo’ladi. Uchburchakning EF tomonini 12 bilan yoki ABC tekislik bilan kesishish nuqtasi K ning proeksiyalari K′ va K″ aniqlanadi.

4.45-rasm
Xuddi shu tartibda DEF uchburchakning ED tomonning ABC tekislik bilan kesishish nuqtasi M ning M′ va M″ proeksiyalarini yordamchi S(S_V) frontal proeksiyalovchi tekislik vositasida aniqlanadi.
Chizmada hosil bo’lgan K′ bilan L′ va K″ bilan L″ proeksiyalarni o’zaro tutashtirilsa, uchburchaklar kesishish chizig’ining proeksiyalari hosil bo’ladi. Uchburchaklar chegaralangan shakllar bo’lgani uchun ularning kesishish chizig’ining proeksiyalari K′L′ va K″L″ chegarasida bo’ladi.
Uchburchaklarning proeksiyalar tekisliklariga nisbatan ko’rinadigan yoki ko’rinmaydigan qismlarini aniqlash uchun ularning tomonlariga tegishli raqobatlashuvchi nuqtalaridan foydalaniladi. Masalan, H tekislikka nisbatan ko’rinishlikni aniqlash uchun ABC va DEF larning AC va EF tomonlarning raqobatlashuvchi 56(5′6′, 5″6″) nuqtalarning applikatalar Z₅, Z₆ qiymatlari taqqoslanadi. Agar 5(5′, 5″) nuqta EF(E′F′, E″F″) tomonga, 6(6′, 6″) nuqta AC(A′C′, A″C″) tomonga tegishli, ya’ni 5EF va 6AC bo’lsa, chizmada z₅>z₆ bo’lgani uchun 5 nuqta kuzatuvchiga ko’rinadi. 5 nuqta H tekislikdan 6 nuqtaga nisbatan yuqorida joylashganligi aniqlanadi. Demak, H tekislikda EF tomonning F′K′ qismi kuzatuvchiga ko’rinadi, E′K′ ning bir qismi esa ABC ostida qoladi. U holda ABC ni AB tomonining A′B′ proeksiyasi to’liq va BC tomoni B′C′ proeksiyasining B′L′ qismi ko’rinadi. DEF ning ED tomonining E′D′ gorizontal proeksiyasining bir qismi ABC ning gorizontal A′B′C′ proeksiyasi ostida qoladi.
Uchburchakning V tekislikka nisbatan ko’rinishligi aniqlash uchun BC va EF tomonlariga tegishli 2 va 7 raqobatlashuvchi nuqtalarining 2′, 7′ va 2″, 7″ proeksiyalaridan foydalanamiz. Agar 2BC va 7EF bo’lsa, chizmada y₂>y₇ bo’lgani uchun 2 nuqta kuzatuvchiga ko’rinadi. Shuning uchun 2(2′, 2″) nuqta tegishli BC tomonning B″L″ va EF tomonning E″K″ qismi ko’rinadi. Shuningdek, AS tomoni A″C″ proeksiyasining 1″3″ qismi ko’rinmaydi. U holda uchburchakning ED tomonning E″D″ proeksiyasi to’liq ko’rinadi.