D. Djanabayev, Sh. Murodov, A. Xolmurzayev chizma geometriya

7.4-§. Evolyuta va evolventa

Biror ℓ egri chiziqning hamma nuqtalari uchun egrilik markazlari yasalsa, ularning to’plami ℓ₁ egri chiziqni hosil qiladi. Bu ℓ₁ egri chiziq berilgan ℓ egri chiziqning evolyutasi deb ataladi (7.10-rasm). ℓ egri chiziq ℓ₁ evolyutaga nisbatan evolventa deyiladi).
Evolyutaning urinmalari ℓ evolventaning normallaridir. Evolyuta urinmalarida cheksiz ko’p evolventalar joylashgan bo’lishi mumkin. Shuning uchun egri chiziqning evolyutasi o’z evolventasini aniqlay olmaydi, lekin uning evolventasi o’z evolyutasini aniqlay oladi.

7.10-rasm

7.5-§. Tekis egri chiziq nuqtalarining klassifikasiyasi

Tekis egri chiziqlar monoton va ulama chiziqlarga bo’linadi. Monoton egri chiziqning qator nuqtalarida egrilik radiusi uzluksiz o’sib yoki kamayib boradi. Monoton egri chiziq yoylaridan tashkil topgan chiziq ulama chiziq deyiladi. Bu yoylarning ulanish nuqtalari ulama chiziqning uchlari, ulanuvchi yoylarning o’zi esa ulama chiziqning tomonlari deb ataladi. Yoylarning ulanish xarakteriga qarab, ulama chiziqning uchlari oddiy va maxsus nuqtalar bo’lishi mumkin. Egri chiziqning oddiy nuqtasida yarim urinmalar qarama-qarshi yo’nalishda bo’lib, bitta to’g’ri chiziq ustida yotadi va egrilik markazlari ustma-ust tushadi. Egri chiziqlarning maxsus nuqtalari quyidagilardan iborat:
Qo’sh nuqta. Yarim urinmalar qarama-qarshi yo’nalishga ega, normallar ustma-ust tushadi, egrilik markazlari esa har xil joylashadi (7.11-rasm).
Egilib o’tish nuqtasi. Yarim urinmalar ham, normallar ham qarama-qarshi yo’nalishda bo’ladi (7.12-rasm).
Birinchi turdagi qaytish nuqtasi. Yarim urinmalar ustma-ust tushadi va bir xil yo’nalishda bo’ladi, normallar qarama-qarshi yo’nalishda bo’lib, bir chiziq ustida yotadi (7.13-rasm).

7.11-rasm 7.12-rasm 7.13-rasm


Ikkinchi turdagi qaytish nuqtasi. Yarim urinmalar va normallar juft-juft bo’lib bir xil yo’nalishga ega bo’ladi (7.14-rasm);
Sinish nuqtasi. Yarim urinmalar va normallar har xil yo’nalishda bo’ladi (7.13-rasm);
Tugun nuqta. Tugun nuqtada egri chiziq o’zini-o’zi bir va bir necha marta kesib o’tadi (7.15-rasm).

7.14-rasm 7.15-rasm

7.6-§. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Ta’rif. Ikkinchi darajali tenglamalar bilan ifodalanuvchi egri chiziqlar ikkinchi tartibli egri chiziqlar deyiladi.

Bunday chiziqlar to’g’ri chiziq bilan eng ko’pi ikki nuqtada kesishadi.Ikkinchi tartibli egri chiziqlar va ularning xususiyatlaridan mashinasozlikda,binokorlikda, umuman muhandislik amaliyotining barcha tarmoqlarida keng foydalaniladi. Shu boisdan ham 2-tartibli egri chiziqlari mukammal o’rganilgan. Ularga aylana, ellips, parabola, giperbola va ularning xususiy hollari kiradi. Bu egri chiziqlarning tenglamalari va ularning shakllarini aniqlovchi parametrlari analitik geometriyada to’liq o’rganiladi. Chizmachilikda va chizma geometriyada esa ularni yasash va hosil bo’lish usullari o’rganiladi.

Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning nomi, ta’rifi, tenglamasi va ularning shakllari 7.1-jadvalda keltirilgan.
7.1-jadval

Aylana Berilgan nuqtadan teng masofalarda joylashgan nuqtalarning to’plami aylana deyiladi. Kanonik tenglamasi Parametrik tenglamasi
Ellips Berilgan ikki F1 va F2 nuqtadan uzoqliklarining yig’indisi o’zgarmas miqdor bo’lgan nuqtalarning to’plami ellips deyiladi. F1N + F2N = AB =const Kanonik tenglamasi Parametrik tenglamasi x=a cos t y=b sin t
Giperbola Berilgan F1 va F2 ikki nuqtadan uzoqliklarining ayirmasi o’zgarmas miqdor bo’lgan nuqtalarining to’plami giperbola deyiladi. F1N-F2N=A1A2 =const Kanonik tenglamasi Parametrik tenglamasi x = a sec t y = b tg t
Parabola Berilgan nuqtadan va d to’g’ri chiziqdan teng masofalarda joylashgan nuqtalarning to’plami parabola deyiladi. FN=AN Kanonik tenglamasi y^2=2px Parametrik tenglamasi x=t, y= yoki y=t, x=t^2/2p