Differensial tenglamalar kafedrasi ro’ziqulov azizjonning “issiqlik o’tkazu vchanlik tenglamasini maple paketi yordamida yechish”

u_t = u
t xx
issiqlikning Ox o’qi bo’ylab erkin tarqalish tenglamasi hisoblanadi. Bu shakldagi tenglamalar chekli uzulikdagi sterjen, yaxlit uzun metal o’tkazgich bo’ylab tarqalayotgan issiqlik miqdorini uning x nuqtasiga mos kesimning t vaqtdagi u (x, t) temperaturasi orqali o’rganishda hosil bo’ladi.

2. 
   Chekli sterjenda issiqlikning tarqalishi
   

Biz mavzuning bu qismida tashqi muhitdan issiqlikdan himoyalangan l uzunlikdagi yatarlicha ingichka sterjenni qaraymiz. Aniqlik uchun sterjenni Ox o’qi bo’ylab bir uchini x = 0 nuqtaga, uning ikkinchi uchini esa x = l nuqtaga joylashtiramiz. Sterjen x nuqtasiga mos kesimning t vaqtdagi temperaturasini u (x, t) bilan belgilaymiz.
Dastlab eng sodda masalalarni qaraymiz. Faraz qilaylik, sterjen uchlarida doimiy T va T₂ temperaturalar ushlab turilgan bo’lsa, u holda bir jinsli sterjenda biz issiqlikning uning nuqtalari bo’ylab chiziqli uzatilishiga ega bo’lamiz:
u(x)= T + ^{T 2} ~ ^T1 x (1.1.1)
Ma’lumki, bunda issiqlik yuqori temperaturali uchdan past temperaturali uchga tomon oqadi. Bunda biz agar issiqlik oqimi Ox o’qining musbat yo’nalishida bo’lsa, uni musbat, aks holda manfiy deb qaraymiz.
8
Bu holda sterjenning S kesim yuzidan birlik vaqt mobaynida oqib o’tgan issiqlik miqdori


l dx
(1.1.2)
Formula bilan hisoblanadi. Bunda k - sterjenning issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti bo’lib, u sterjen materialiga bog’liq.
Endi sterjenda issiqlik tarqalishining umumiy holini qaraymiz, ya’ni bu holda u (x, t) funksiya qanday parametrlar orqali aniqlanishi va qanday qonuniyatga bo’ysinishi haqida to’xtalamiz.

1. 
   Sterjenning x nuqtasiga mos ko’ndalang kesim yuzidan t,/₂) vaqt
   

mobaynida oqib o’tgan issiqlik miqdori
(1.1.3)
formula bilan ifodalanadi. k(x)- sterjen x nuqtasiga mos kesimning issiqlik о’t к azuv с han I i к к о ef f i ts iyen t i.

2. 
   Elementar fizikadan ma’lumki, bir jinsli issiqlik o’tkazuvchi jism temperaturasini Au ga oshirish uchun unga