Differensial tenglamalar o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
O'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Dastavval, ayrim sodda differensial tenglamaning umumiy yechiminitopish bilan shug'ullanamiz.
Ushbu
y' = f(x)*g(y) (1.1.1)
ko'rinishdagi differensial tenglamaga oʻzgaruvchilari ajraladigan differensialtenglama deyiladi. Bu yerdagi f(x) va g(y) funksiyalar mos ravishda aD=(a,b)x(c,d)={(x,y) = R²: asohada aniqlangan va uzluksizdir. (1.1.1) ko'rinishdagi differensial tenglamaning yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko'rib chiqamiz. 1-hol. Aytaylik, g(y) 0, ye(c,d) bo'lsin. U holda (1.1.1)
differensial tenglamani ushbu

ko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab

(1.1.2)
munosabatni hosil qilamiz. Ma'lumki, va funksiyalar uzluksiz ekanligidan, ularning mos ravishda boshlang'ich va funksiyalarining mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (1.1.2) tenglikni

koʻrinishda yozish mumkin. Qaralayotgan holda monoton funksiya boʻladi.
Chunki
Bundan esa uning teskarisi mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.1.3) tenglikdan
(1.1.4)

funksiyani topamiz. O'z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.

2-hol. Aytaylik biror nuqtada bo'lsin. Bu tenglamaning ildizi yordamida aniqlangan y(x)= o'zgarmas funksiya (1.1.1) differensial tenglamaning yechimidan iborat boʻladi.
Demak, (1.1.1) differensial tenglamaning umumiy yechimi

(1.1.5)

ko'rinishda bo'lar ekan.

Endi, tayinlangan biror nuqtani olib, (1.1.1) differensial tenglamaning ushbu

(1.1.6)
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish bilan shug'ullanamiz. Shu maqsadda quyidagi

F(x)= (1.1.7)

funksiyalarni tuzib olamiz.
Ushbu

yordamchi funksiyani qaraylik. Ko'rinib turibdiki,

shart bajariladi. Aniqlanishiga ko'ra va uzluksiz hamda differensiallanuvchidir. Shuning uchun ham sohada uzluksiz va differensiallanuvchi boʻlib

munosabatlarni qanoatlantiradi. Yuqoridagi mulohazalardan ko'rinadiki,
oshkormas funksiyani mavjudligi haqidagi teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi:

1. nuqtaning atrofida differensiallanuvchi.

2. .

Bundan tenglama nuqtaning biror atrofida aniqlangan differensiallanuvchi va ushbu shartni qanoatlantiruvchi ildizining mavjudligi kelib chiqadi. Shu bilan bir qatorda

tenglikning oʻrinli boʻlishi ham kelib chiqadi. Ko'rinib turibdiki, y(x) funksiya (1.1.1) differensial tenglamani va (1.1.6) boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini ifodalaydi.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
Ushbu
(1.5.1)
koʻrinishdagi tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
deyiladi. Bu yerda va funksiyalar biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz deb qaraladi.
Agar bo'lsa, (1.5.1) tenglamaga chiziqli bir jinsli
bo'lmagan differensial tenglama deyiladi.
Agar bo'lsa,(1.5.1) tenglamaga chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi va ushbu
(1.5.2)
ko'rinishni oladi. Bu esa o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Ko'rinib turibdiki funksiya (1.5.2) differensial tenglamaning yechimidan iborat. Agar bo'lsa, (1.5.2) differensial tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab, quyidagi
(1.5.3)
tenglikni olamiz, bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son,
tayinlangan son. Ushbu

belgilashdan foydanib, (1.5.3) tenglikdan

(1.5.4)
formulani hosil qilamiz. Bu yerda -ixtiyoriy o'zgarmas son desak, (1.5.4) formula (1.5.2) ko'rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi. Bir jinsli bo'lmagan (1.5.1) ko'rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini topishning bir qancha usullari bor. Avvalo biz Lagranj,ya'ni oʻzgarmasni variatsiyalash usuli bilan tanishamiz. Shu maqsadda (1.5.1) differensial tenglamaning yechimini ushbu
(1.5.5)
ko'rinishda izlaymiz. Bu yerda C(x)-hozircha noma'lum funksiya. (1.5.5) tenglikning ikki tomonini differensiallab

(1.5.6)
tenglikni hosil qilamiz. Bu y va y funksiyalarning (1.5.5) va (1.5.6) ifodalarini mos ravishda (1.5.1) differensial tenglamaga qo'yib

munosabatni topamiz. Bunda

kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni

ko'rinishda yozib, uni integrallasak

= const(1.5.7)
munosabatni hosil qilamiz. Yuqoridagi (1.5.5) tenglikdan va (1.5.7 formuladan foydalanib, (1.5.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

(1.5.8)
Bu formuladan foydalanib (1.5.1) differensial tenglamaning
(1.5.9)

boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini ham topish mumkin:

(1.5.10)
Bu yerda va berilgan sonlar. Agar (1.5.8) tenglikning o'ng tomonidagi ikkinchi hadni
(1.5.11)

belgilab olsak, u holda funksiya (1.5.1) differensial tenglamaning

(1.5.12)
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini beradi. Shuning uchun (1.5.8) formula

(1.5.13)
koʻrinishni oladi. Bu esa bir jinsli bo'lmagan (1.5.1) differensial tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli (1.5.2) differensial tenglamaning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo'lmagan (1.5.1) differensial tenglamaning xususiy yechimining yig'indisidan iborat ekanligini ko'rsatadi.
Endi, (1.5.1) ko'rinishdagi chiziqli differensial tenglamaning umumiy
yechimini topishning Bernulli usuli bilan tanishamiz. Shu maqsadda (1.5.1)differensial tenglamaning yechimini
(1.5.14)
ko'rinishda izlaymiz. Natijada biz ushbu

ya'ni

(1.5.15)
ko‘rinishidagi differensial tenglamaga ega bo‘lamiz. Bunda
funksiyani shunday tanlaymizki, natijada
(1.5.16)
shart bajarilsin. Bu esa o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Bu tenglamani yechib,
(1.5.16)
funksiyani topamiz. Shuning uchun (1.5.15) differensial tenglama ushbu

ko'rinishni oladi. Bu differensial tenglamani integrallab,
(1.5.17)
munosabatni hosil qilamiz. Topilgan va funksiyaning (1.5.16) va (1.5.17) ifodalarni (1.5.14) tenglikka qo'yib,

(1.5.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini olamiz. Endi, bir jinsli bo'lmagan (1.5.1) differensial tenglamaning xususiy yechimini topishning Koshi usuli bilan tanishamiz. Shu maqsadda, biror nuqtani olib, quyidagi bir jinsli differensial tenglamaga qoʻyilgan
(1.5.18)

Koshi masalasining yechimini topamiz:

(1.5.19)
Bundan foydalanib ushbu

=
(1.5.20)
funksiyani tuzib olamiz. Ko'rinib turibdiki bu funksiya

(1.5.21)
boshlang'ich shartni qanoatlantiradi. Yuqoridagi (1.5.20) tenglikning ikkala tomonini differensiallab




(1.5.1) ko'rinishdagi differensial tenglamani keltirib chiqaramiz. Bundan ko'rinadiki (1.5.20) tenglik orqali aniqlangan funksiya (1.5.1) differensial tenglamaning xususiy yechimini berar ekan. Bundan foydalanib (1.5.13) tenglikdan

(1.5.1) differensial tenglamaning umumiy yechimining yana bir (Koshi) ko'rinishini topamiz.

1.5.1-izoh. Agar (1.5.1) differensial tenglamaning bitta xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, u holda uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida topiladi. Ishot. Aytaylik funksiya (1.5.1) differensial tenglamaning

xususiy yechimi bo'lsin. U holda (1.5.1) tenglama

ayniyatga aylanadi. Bu tenglikni (1.5.1) tenglamadan ayirsak, quyidagi

munosabat hosil boʻladi. Bundan

kelib chiqadi. Bu yerda -ixtiyoriy o'zgarmas son.
1.5.2-izoh. Agar (1.5.1) differensial tenglamaning ikkita xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, u holda uning umumiy yechimi kvadraturasiz topiladi.
Isbot. Faraz qilaylik va funksiyalar (1.5.1) differensial tenglamaning xususiy yechimlari bo'lsin. U holda bu xususiy yechimlarni ushbu

ko'rinishda yozish mumkin. (1.5.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini

ko'rinishda yozilar edi. Bu yerda -ixtiyoriy o'zgarmas son. Yuqoridagi tengliklardan

munosabat kelib chiqadi. Bundan quyidagi

tenglikni olamiz.

n-CHI TARTIBLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

ko'rinishdagi tenglama chiziqli tenglama deyiladi. (1)
Agar qaralayotgan barcha qiymatlarda nolga teng bo'lsa, (1) tenglama birjinsli, aks holda bir jinslimas deyiladi. Tenglama koeffistiyentlari va ozod had
intervalda aniqlangan va uzluksiz bo'lganda

Koshi (boshlang'ich) masalasi yagona yechimga ega bo'ladi, bu yerda

(1) tenglama maxsus yechimga ega emas. Bir jinslimas tenglamani
integrallash masalasi shu tenglamaga mos bo'lgan birjinsli tenglama

(2)
ni integrallash masalasiga keltiriladi, buning uchun (1) tenglamani birorxususiy yechimini bilish yetarlidir.
Bir jinsli (2) tenglama (trivial) yechimga ega va bu yechim

Koshi masalasini qanoatlantiradi.
Birjinsli -chi tartibli tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uni intervalda chiziqli bog'lanmagan ta xususiy yechimini aniqlash kerak, bu yechimlar fundamental yechimlar sistemasi deyiladi (FES). Agar fundamental yechimlar sistemasi aniqlansa, bu yechimlarning chiziqli kombinasiyasi (2) tenglamaning umumiy yechimini beradi.
CHIZIQLI BOG'LANGAN VA BOG'LANMAGAN FUNKSIYALAR SISTEMASI
funksiyalar intervalida aniqlangan bo'lsin. Agar hyech bo'lmaganda bittasi noldan farqli bo'lgan sonlar topilib uchun

(3)
tenglik o'rinli bo'lsa funksiyalar intervalda
chiziqli bog'langan deyiladi.
Agar (3) tenglik faqat va faqat qiymatlardagina o'rinli bo'lsa, funksiyalar chiziqli bog'lanmagan deyiladi
51-misol. funksiyalar sistemasi intervalda
chiziqli bog'lanmaganligini ko'rsatamiz. Haqiqatdan ham

(4)
Tenglik ning barcha qiymatlarida, faqat bo'lganda bajariladi, agar – ning birortasi nolga teng bo'lmasa, u holda (4) tenglikning chap tomoni ko'pi bilan 4-chi darajali tenglama bo'lib, algebraning asosiy teoremasiga asosan u ko'pi bilan x ning 4 ta qiymatida nolga teng bo'lishi mumkin.
52-misol.
funksiyalar intervalda chiziqli bog'lanmagan funksiyalar sistemasini tashqil etishini ko'rsatamiz. Bu funksiyalarni chiziqli bog'langan deb faraz qilamiz, u holda uchun
(5)
va , sonlarning hyech bo'lmaganda birortasi noldan farqli, masalan bo'lsin. (5) ni bo'lamiz:

Bu ayniyatni differensiallaymiz =0

(6)
(6) ni ga bo'lamiz

Oxirgi tenglikni differensiallab,

ayniyatga kelamiz.

Bunda va bo'lganligi sababli ziddiyat hosil qildik.

Demak, berilgan funksiyalar sistemasi barcha larda chiziqli bog'langandir.