Ehtimollar nazariyasining predmeti Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi

Ehtimollikning klassik ta’rifi

chekli n ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo‘lsin.

• 
  hodisaning ehtimolligi deb, hodisaga qulaylik yaratuvchi elementar hodisalar soni k ning tajribadagi barcha elementar hodisalar soni n ga nisbatiga aytiladi.
  

(1.6.1)

Klassik ta’rifdan foydalanib, ehtimollik hisoblashda kombinatorika elementlaridan foydalaniladi. Shuning uchun kombinatorikaning ba’zi elementlari keltiramiz. Kombinatirikada qo‘shish va ko‘paytirish qoidasi deb ataluvchi ikki muhim qoida mavjud.

va chekli to‘plamlar berilgan bo‘lsin.

• 
  Qo‘shish qoidasi: agar to‘plam elementlari soni n va to‘plam elementlari soni m bo‘lib, ( va to‘plamlar kesishmaydigan) bo‘lsa, u holda to‘plam elementlari soni n+m bo‘ladi.
  
• 
  Ko‘paytirish qoidasi: va to‘plamlardan tuzilgan barcha juftliklar to‘plami ning elementlari soni nm bo‘ladi.
  

n ta elementdan m ( )tadan tanlashda ikkita sxema mavjud: qaytarilmaydigan va qaytariladigan tanlashlar. Birinchi sxemada olingan elementlar qayta olinmaydi(orqaga qaytarilmaydi), ikkinchi sxemada esa har bir olingan element har qadamda o‘rniga qaytariladi.

Qaytarilmaydigan tanlashlar sxemasi

• 
  Guruhlashlar soni: n ta elementdan m ( )tadan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
  

(1.6.2)


sonlar Nyuton binomi formulasining koeffisientlaridir:


.

• 
  O‘rinlashtirishlar soni: n ta elementdan m ( ) tadan o‘rinlashtirishlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
  

. (1.6.3)

• 
  O‘rin almashtirishlar soni: n ta elementdan n tadan o‘rinlashtirish o‘rin almashtirish deyiladi va u quyidagicha hisoblanadi:
  

. (1.6.4)
O‘rin almashtirish o‘rinlashtirishning xususiy holidir, chunki agar (1.6.3.)da n=m bo‘lsa bo‘ladi.

Qaytariladigan tanlashlar sxemasi

• 
  Qaytariladigan guruhlashlar soni: n ta elementdan m ( ) tadan qaytariladigan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
  

(1.6.5)

• 
  Qaytariladigan o‘rinlashtirishlar soni: n ta elementdan m ( ) tadan qaytariladigan o‘rinlashtirishlari soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
  

. (1.6.6)

• 
  Qaytariladigan o‘rin almashtirishlar soni: k hil n ta elementdan iborat to‘plamda 1-element n₁ marta, 2-element n₂ marta,…, k- element n_k marta qaytarilsin va bo‘lsin, u holda n ta elementdan iborat o‘rin almashtirish orqali belgilanadi va u quyidagicha hisoblanadi:
  

. (1.6.4)

Endi ehtimollik hisoblashga doir misollar keltiramiz.

1.5-misol. Telefon nomerini terayotganda abonent oxirgi ikki raqamni eslay olmadi. U bu raqamlar har xil ekanligini eslab, ularni tavakkaliga terdi. Telefon nomeri to‘g‘ri terilganligi ehtimolligini toping.
Oxirgi ikki raqamni usul bilan terish mumkin. A={telefon nomeri to‘g‘ri terilgan} hodisasini kiritamiz. A hodisa faqat bitta elementdan iborat bo‘ladi(chunki kerakli telefon nomeri bitta bo‘ladi). Shuning uchun klassik ta’rifga ko‘ra .
1.6-misol. 100 ta lotoreya biletlarlaridan bittasi yutuqli bo‘lsin. Tavakkaliga olingan 10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo‘lishi ehtimolligini toping.
100 ta lotoreya biletlaridan 10 tasini usul bilan tanlash mumkin. ={10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo‘lishi } hodisasi bo‘lsa, va .
1.7-misol. Pochta bo‘limida 6 xildagi otkritka bor. Sotilgan 4 ta otkritkadan: a) 4 tasi bir xilda; b) 4 tasi turli xilda bo‘lishi ehtimolliklarini toping.
6 xil otkritkadan 4 tasini usul bilan tanlash mumkin. a) A={4 ta bir xildagi otkritka sotilgan} hodisasi bo‘lsin. A hodisaning elementar hodisalari soni otkritkalar xillari soniga teng, ya’ni N(A)=6. Klassik ta’rifga ko‘ra bo‘ladi. b) B={4 ta har xil otkritka sotilgan} hodisasi bo‘lsin, u holda ga teng va
Klassik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   Agar bo‘lsa, u holda ;
   
5. 
   uchun
   

Isboti. 1) bo‘lgani uchun klassik ta’rifga ko‘ra .
2) Klassik ta’rifga ko‘ra .
3) Ihtiyoriy hodisa uchun ekanligidan bo‘ladi.
4) Agar bo‘lsa, u holda va .
5) va hodisalarni birgalikda bo‘lmagan ikki hodisalar yig‘ndisi shaklida yozib olamiz: , u holda 4-xossaga ko‘ra va . Bu ikki tenglikdan kelib chiqadi. ■