Ehtimollar nazariyasining predmeti Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi

Ehtimollikning aksiomatik ta’rifi

Ehtimollar nazariyasini aksiomatik qurishda A.N. Kolmogorov tomonidan 30-yillarning boshlarida asos solingan.

- biror tajribaning barcha elementar hodisalar to‘plami, S-hodisalar algebrasi bo‘lsin.

• 
  S hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi fuksiya ehtimollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiomalar o‘rinli bo‘lsa:
  

A1: ihtiyoriy hodisaning ehtimolligi manfiy emas (nomanfiylik aksiomasi);
A2: muqarrar hodisaning ehtimolligi birga teng (normallashtirish aksiomasi);
A3: juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar yig‘indisining ehtimolligi shu hodisalar ehtimollari yig‘indisiga teng, ya’ni agar bo‘lsa, u holda

(additivlik aksiomasi);
uchlik ehtimollik fazosi deyiladi, bu yerda -elementar hodisalar fazosi, S-hodisalar algebrasi, P- A1-A3 aksiomalarni qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya.

Ehtimollikning xossalari

Kolmogorov aksiomalarining tatbiqi sifatida quyidagi xossalarni keltiramiz:

1. 
   Mumkin bo‘lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng
   

.

2. 
   Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig‘indisi birga teng
   

.

3. 
   Ixtiyoriy hodisaning ehtimolligi uchun quyidagi munosabat o‘rinli:
   

4. 
   Agar bo‘lsa, u holda .
   

Matematik statistika elementlari
Statistika so`zi lotincha so`zdan olingan bo`lib, holat, vaziyat degan ma`noni anglatadi.
Statistika tabiatda va jamiyatda bo`ladigan ommaviy hodisalarni o`rganadi. Statistika fani qonuniyatlarni aniqlash maqsadida ommaviy tasodifiy hodisalarni kuzatish natijalarni tasvirlash, to`plash, sistemalashtirish, tahlil etish va izohlash usullarini o`rganadi.

Matematik statistika esa ommaviy va ijtimoiy xarakterga ega bo`lgan tabiiy jarayonlarni tahlil etish uchun matematik apparat bo`lib xizmat qiladi.

Matematik statistikaning vazifasi o`rganilayotgan ob`yekt bo`yicha statistik ma`lumotlarni to`plash, ularni taxlil qilish va shu asosda ba`zi bir xulosalarni chiqarishdan iborat.

Quyida matematik statistikaning asosiy masalalari bilan tanishib chiqamiz:

1. Faraz qilaylik, tasodifiy miqdor ning taqsimot funksiyasi bo`lsin. Statistika nuqtai nazaridan tasodifiy miqdor ustida n ta o`zaro bog`liq bo`lmagan tajribalar o`tkazib, qiymatlarni olgan bo`laylik. Hosil bo`lgan lar bo`yicha tasodifiy miqdorning no`malum taqsimot funksiyasini baholash matematik statistikaning vazifalaridan biridir. Matematik statistikaning ushbu masalani yechish bilan shug`ullanuvchi bo`limi noparametrik baholash nazariyasi deb ataladi.

2. tasodifiy miqdor k ta noma`lum parametrga bog`liq ma`lum ko`rinishdagi taqsimot funksiyaga ega bo`lsin. tasodifiy miqdor ustidagi kuzatishlarga asoslanib, bu noma`lum parametrlarni baholash matematik statistikaning vazifasidir. Matematik statistikada bu masalani yechish bilan shugulanuvchi bo`lim parametrik baholash nazariyasi deyiladi.

3. Kuzatilayotgan miqdorlarning taqsimot qonunlari, ba`zi xarakteristikalari haqidagi har qanday farazlarni “statistik gipotezalar ” deb ataladi.

Faraz qilaylik, ba`zi mulohazalarga asoslanib, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini deb hisoblash mumkin bo`lsin, shu funksiya xaqiqatdan ham ning taqsimot funksiyasimi yoki yo`qmi degan savol statistik gipoteza hisoblanadi.

U yoki bu gipotezani tekshirish uchun kuzatishlar orqali yoki maxsus tajribalar o`tkazish yo`li bilan ma`lumotlar olib, ularni qilingan gipotezaga muvofiq nazariy jihatdan kuzatilayotgan ma`lumotlar bilan taqqoslab ko`rish kerak. Agar olingan ma`lumotlar haqiqatdan ham nazariy jihatdan kutilgan ma`lumotlar bilan mos kelsa, u vaqtda bu fakt o`sha gipotezaning to`g`riligiga ishonch hosil qilish bilan, uni qabul qilish uchun asos bo`lishi mumkin. Agar olingan ma`lumotlar nazariy jihatdan kutilayotgan ma`lumotga yetarlicha to`g`ri kelmasa u holda qilingan gipotezani qabul qilishga asos bo`lmaydi.

Umuman, kuzatish natijalari bilan nazariy jihatdan kutiladigan natija orasidagi farq turlicha bo`lishi mumkin. Shu farqni statistik baholash natijasida u yoki bu gipotezani ma`lum ehtimollik bilan qabul qilish mumkin, ya`ni shu farq katta bo`lsa gipoteza qabul qilinmaydi, aks holda qabul qilinadi, albatta bu farq qancha bo`lganda gipotezani qabul qilish mumkinligi masalaning quyilishiga bog`liq bo`ladi.

Matematik statistikaning bu masalani yechish bilan shug`ullanuvchi bo`limi statistik gipotezalar nazariyasi deyiladi.

2. Bosh va tanlanma to`plam.

Bir jinsli elementlar jamlanmasida ushbu elementlarni xususiyatlarni xarakterlovchi biror alomatni o`rganish talab etilgan bo`lsin. Ko`p hollarda barcha elementlarni alohida o`rganish imkoniyati bo`lmaydi (elementlar soni juda ko`p bo`lishi mumkin, elementni o`rganish ko`p sarf harajat talab etishi mumkin, tekshirilish jarayonida ushbu element yoq qilinishi mumkin va hokazo). Bu hollarda ushbu elementlar jamlanmasidan biror qismini ajratib olinadi va bu ajratilgan to`plam bo`yicha butun jamlanma xususiyatlari haqida hulosalar qilinadi.

Masalan, O`zbekiston fuqarolarining bo`yi yoki og`irligini aniqlamoqchi bo`lsak, har bir kishini tekshirish imkoniyatiga ega bo`lmaymiz, chunki buning uchun ko`p mablag` va vaqt sarflash lozim bo`ladi. Bunday hollarda tekshiruvchi uchun eng yaxshi yo`l soni cheklangan birliklarni shunday ustalik bilan tekshirishki, ular umumiy o`rganilayotgan to`plam haqida amaliy jihatdan yetarli darajada aniqlikda ko`zlangan axborotlarni olish imkoniyatini bersin.

Statistik analiz qilish uchun tasodifiy tanlab olingan to`plam tanlanma to`plam deyiladi.

Tanlanma qaysi to`plamdan olingan bo`lsa, bu to`plam bosh to`plam deyiladi.

Bosh to`plam yoki tanlanma to`plamning hajmi deb, bu to`plamdagi ob`ektlar soniga aytiladi. Odatda bosh to`plam hajmini N, tanlanma to`plam hajmini n bilan belgilanadi.

Masalan, agar 10000 ta detalning sifatini tekshirish uchun 100 ta detal tanlab olingan bo`lsa, bosh to`plam hajmi va tanlanmaning hajmi ga teng bo`ladi.

Agar bosh to`plamdan tanlanma to`plam ajratib olib, bu to`plam ustida kuzatish olib borilgandan so`ng, bu tanlanma to`plam keyingi tanlashdan oldin yana bosh to`plamga qaytarilsa, bunday tanlash usuli takroriy tanlanma deyiladi.

Agar bosh tanlanmadan tanlanma to`plam ajratilib, bu to`plam ustida kuzatish olib borilgandan so`ng bosh to`plamga qaytarilmasa, bunday tanlash usuli takroriy bo`lmagan tanlanma deyiladi.

Agar bosh to`plam hajmi juda katta bo`lib, tanlanma to`plam hajmi katta bo`lmasa, u holda takroriy va takroriy bo`lmagan tanlanmalar orasidagi farq sezilarli bo`lmaydi .

Amaliyotda ko`pincha takroriy bo`lmagan tanlab olish usulidan foydalaniladi. Albatta, bu ikkala tanlab olish usulida ham tanlanma to`plam bosh to`plamning barcha xususiyatlarini saqlagan holda olinishi kerak, ya`ni tanlanma to`plam bosh to`plamga “o`xshash” bo`lishini ta`minlaydigan qilib tanlash lozim.

Agar tanlanma to`plam bosh to`plamni deyarli barcha xususiyatlarini o`zida saqlasa, u holda bunday tanlanma reprezentativ (vakolatli) tanlanma deyiladi.

Reprezentativ tanlanma hosil qilish uchun biz tanlanmani tasodifiy qilib tuzamiz. Tanlab olish usuli bosh to`plamning bizni qiziqtiradigan belgisiga xech qanday ta`sir qilmaydi va bosh to`plamning har bir elementi tanlanmada bir xil imkoniyat bilan qatnashishi ta`minlanadi. Agar tanlanma to`plam reprezentativligini saqlamasa, u holda tanlanma to`plam ustida chiqarilgan xulosani bosh to`plamga tadbiq qilish noto`g`ri xulosaga olib kelishi mumkin.

3. Empirik taqsimot funksiya.
Biror tasodifiy miqdor ustida n marta kuzatish o`tkazib,
natijalar olingan bo`lsin, u holda biz tanlanma to`plamga ega bo`lamiz. Tajribalar bir xil sharoitda, bir-biriga bog`liq bo`lmagan holda o`tkazilgan deb faraz qilinadi. Ma`lumki, tajriba natijalari (1) ya`ni 1-tajriba natijasi (1-o`rinda yozilgan), 2-tajriba natijasi (2-o`rinda yozilgan), …, n-tajriba natijasi (n-o`rinda yozilgan) bo`lib, ular son qiymatlari bo`yicha tartibsiz joylashgan bo`lishi mumkin.

Agar tanlanma to`plam qiymatlar bo`yicha o`sish (yoki kamayish) tartibidab (yoki ) kabi joylashtirilsa, variatsion qator deyiladi.

(1) tanlanma to`plamdagi lar variantalar deyiladi.
Agar tanlanmada varianta marta, varianta marta, ..., varianta marta (bu yerda ) kuzatilgan bo`lsa, u holda sonlar chastotalar, sonlar esa nisbiy chastotalar deyiladi. Ravshanki, bo`ladi.
Tanlanmaning statistik yoki empirik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalardan iborat ushbu jadvalga aytiladi:
yoki .
Ta`rif. Tanlanmaning empirik taqsimot funksiyasi deb x ning har bir qiymati uchun quyidagicha aniqlangan funksiyaga aytiladi:
bunda – qiymatdan kichik bo`lgan variantalar soni; – tanlanmaning hajmi.
Tanlanmaning empirik funksiyasidan farqli bosh to`plam uchun aniqlangan ushbu funksiya nazariy taqsimot funksiyasi deb ataladi. Empirik va nazariy taqsimot funksiyalar orasidagi farq shundaki, nazariy taqsimot funksiya hodisa ehtimolligini, empirik taqsimot funksiya esa shu hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydi. Bernulli teoremasidan kelib chiqadiki, hodisa nisbiy chastotasi, ya`ni shu hodisaning ehtimolligiga ehtimollik bo`yicha yaqinlashadi. Boshqacha so`z bilan aytganda va funksiyalalar bir-biridan kam farq qiladi. Shu yerning uzidanoq, bosh to`plam taqsimotining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan foydalanish maqsadga muvofiq bo`lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi mulohazalardan, quyidagi teoremaning o`rinli ekanini ko`rish qiyin emas.
1-teorema. Biror tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsin, bu tasodifiy miqdor ustida o`tkazilgan ta o`zaro bog`liq bo`lmagan kuzatishlar natijalarining empirik taqsimot funksiyasi bo`lsin. U holda ixtiyoriy () va ixtiyoriy uchun

.Demak, agar tanlanma hajmi katta bo`lsa empirik taqsimot funksiyasining nuqtadagi qiymatini, nazariy taqsimot funksiyaning shu nuqtadagi qiymati uchun baho sifatida qabul qilinishi mumkin ekan.

Empirik taqsimot funksiyaning xossalari

2. – kamaymaydigan funksiya;

3. Agar – eng kichik varianta va – eng katta varianta bo`lsa, u holda quyidagi munosabatlar o`rinli bo`ladi:

2. Matematik statistikaning parametrik masalalari.

Tanlanmani grafik usulda tasvirlash uchun poligon va gistogrammalardan foydalaniladi.

Chastotalar poligoni deb nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Chastotalar poligonini qurish uchun absissalar o`qida variantalar qiymatlari va ordinatalari o`qida ularga mos kelgan chastotalar qiymatlari belgilanadi. Koordinatalari juftliklardan iborat nuqtalar kesmalar bilan tutashtiriladi.

Nisbiy chastotalar poligoni deb koordinatalari bo`lgan nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi.

Tanlanmani grafik usulda tasvirlash uchun tanlanmaning hajmi kam bo`lganda poligondan, agar hajm katta bo`lsa yoki kuzatilayotgan kattalik uzluksiz xarakterga ega bo`lsa gistogrammadan foydalaniladi.

Chastotalar gistogrammasi deb, asoslari h uzunlikdagi intervallardan, balandliklari esa dan iborat bo`lgan to`g`ri to`rtburchaklardan tuzilgan pog`onasimon shaklga aytiladi.
Nisbiy chastotalar gistogrammasi deb, asoslari h uzunlikdagi intervallardan, balandliklari esa dan iborat bo`lgan to`g`ri to`rtburchaklarlardan tuzilgan pog`onasimon shaklga aytiladi.
Matematik model tizimni matematik izohlash uchun ishlatiluvchi abstrakt model boʻlib, maʼlum bir hodisa va jarayonni matematik formula va bogʻlanishlar orqali tushuntirib beradi. Bu modellarning eng sodda korinishi chiziqli regressiya formulalari bolib, ular {\displaystyle y=b0+b1x}{\displaystyle y=b0+b1x} koʻrinishida namoyon boʻladi.
Matematik model - matematik timsollar, belgilar va hodisalar sinfining taxminan namunasi, bayoni. Obʼyektiv dunyo hodisalarini toʻliq aks ettiradigan Matematik model qurish mumkin emas, lekin istalgan aniqlikda toʻgʻri aks ettiradigan Matematik model qurish mumkin. Matematik model 4 bosqichga boʻlinadi: modelning asosiy obʼyektlarini bogʻlovchi qonunlarni shakllantirish; Matematik model olib keladigan matematik masalalarni yechish; modelning nazariyaga mos kelishini aniqlash, modelni tahlil qilish va takomillashtirish. Matematik modelning klassik namunalaridan biri suyuqlik harakatini oʻrganishdir. Dastlab, 18-asrda suyuqlik qisilmaydigan bir jinsli, faqat massa va energiya saqlanishi qonuniga boʻysunadigan modda ("ideal qisilmaydigan suyuqlik") deb olingan. Shularga asoslanib qurilgan Matematik modelda suyuqlik harakati maxsus differensial tenglamalar bilan ifodalangan. Keyinchalik bu Matematik model takomillashtirilib, suyuqliknMatematik model tizimni matematik izohlash uchun ishlatiluvchi abstrakt model boʻlib, maʼlum bir hodisa va jarayonni matematik formula va bogʻlanishlar orqali tushuntirib beradi. Bu modellarning eng sodda korinishi chiziqli regressiya formulalari bolib, ular {\displaystyle y=b0+b1x}{\displaystyle y=b0+b1x} koʻrinishida namoyon boʻladi.

Matematik model - matematik timsollar, belgilar va hodisalar sinfining taxminan namunasi, bayoni. Obʼyektiv dunyo hodisalarini toʻliq aks ettiradigan Matematik model qurish mumkin emas, lekin istalgan aniqlikda toʻgʻri aks ettiradigan Matematik model qurish mumkin. Matematik model 4 bosqichga boʻlinadi: modelning asosiy obʼyektlarini bogʻlovchi qonunlarni shakllantirish; Matematik model olib keladigan matematik masalalarni yechish; modelning nazariyaga mos kelishini aniqlash, modelni tahlil qilish va takomillashtirish. Matematik modelning klassik namunalaridan biri suyuqlik harakatini oʻrganishdir. Dastlab, 18-asrda suyuqlik qisilmaydigan bir jinsli, faqat massa va energiya saqlanishi qonuniga boʻysunadigan modda ("ideal qisilmaydigan suyuqlik") deb olingan. Shularga asoslanib qurilgan Matematik modelda suyuqlik harakati maxsus differensial tenglamalar bilan ifodalangan. Keyinchalik bu Matematik model takomillashtirilib, suyuqlikning qisiluvchanligi, yopishqoqligi, molekulyar tuzilishi, uyurma hosil boʻlishi, issikdik, elektr va boshqa taʼsirlar hisobiga olingan differensial tenglamalari tuzilgan. Matematik model fizika, astronomiya, biol., iqtisodiyot, tibbiyot va boshqa sohalarda asosiy tadqiqot usuli hisoblanadi.