Ellips va uning tarifi Ellips tenglamalari Giperbola tenglamalari

Giperbola tenglamalari
3-ta’rif. Ixtiyoriy nuqtasidan fokuslari deb ataluvchi berilgan ikki
F , va F 2 nuqtagacha bo'lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati
o'zgarmas miqdor 2a ga teng bo‘lgan tekislikdagi barcha nuqtalar
to'plamiga giperbola deyiladi.
O'zgarmas miqdor 2a fokuslar orasidagi masofadan kichik deb
olinadi.Giperbola tenglamasini keltirib chiqarish uchun belgilashlami, chizmani oldingi ellips tenglamasiga o'xshash qilib olamiz. Berilgan fokuslar orasidagi masofani 2c bilan belgilaymiz. U holda F l,F 2 nuqtalaming
koordinatlari mos ravishda (-c; 0) va (c;0) ga teng bo'ladi. T a’rifga
ko'ra 2 a < 2 c yoki a < c .Giperbola ixtiyoriy nuqtasini M ( x ;y ) bilan belgilaymiz
Giperboladagi ixtiyoriy M nuqtaning F x va F , fokuslaridan maso-
falarini uni fokal radiuslari deyiladi va rt,r2 bilan belgilanadi, ya’ni
r , = p ( F x, M ) va r2 = p ( F 2,M)-Tenglamaning ikkala qismini a 2(c2 - a 2) ga bo'lib, quyidagini hosil qilamiz.
c < a bo'lgani uchun c 2 - a 2 musbat miqdordir, uni b 2 bilan belgi-
lasak tenglama:
ko'rinishni oladi. Bu tenglamaga giperbolaning kanonik tenglamasi
deyiladi. Giperbolaning (8) tenglamasiga ko‘ra shaklini aniqlaymiz.
Buning uchun giperbola tenglamasidan ham ellips tenglamasi ustida
olib borilgan muhokamalami takrorlab, giperbolaning tarmoqlari koor-
dinatalar boshi va koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikligi aniqlana-di. Giperbola (O x ) o‘qni A {(a;0) va A 2(- a;0)nuqtalarda kesadi (8) tenglama bilan aniqlangan giperbola (O y ) o‘q bilan kes-
ishmaydi. Haqiqatan (8) tenglamaga * = 0 ni qo'ysak, y 2 = - b 2 bo'ladi, holbuki bu tenglik haqiqiy sonlar sohasida o'rinli bo‘lmaydi. A t,A 2 nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Giperbolaning uchlari orasidagi 2a masofa uning haqiqiy o‘qi deyiladi.
Ordinatalar o‘qida o dan b masofada turuvchi B ](0;b) va B 2(0;-b)
nuqtalami belgilaymiz. \BtB 2\ = 2b ni giperbolaning mavhum o‘qi deyiladi. Agar M ( x ;y ) nuqta giperbolada yotsa uning uchun (8) tengla-madan \x\>a demak x = ±a to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan
- a < x < a sohada giperbolaning nuqtalari yo‘q. (8) tenglamani y or-
dinata o‘qiga nisbatan yechamiz.
y = ±—'Jx2 - a 2.
Bu tenglamadan ko'rinadiki, x miqdor a dan + oo gacha ortganda
va
a dan — oo gacha kamayganda y miqdor —o o < y < + o o —
oraliqdagi qiymatlami qabul qiladi. Demak, giperbola ikki qismdan
iborat bo‘lib, ular giperbolaning tarmoqlari deyiladi. Giperbolaning bir (o‘ng) tarmog'i x> a yarim tekislikda, ikkinchi (chap) tarmog'i x< — a yarim tekislikda joylashgan.
Agar giperbolaning fokuslari ordinatalar o'qida joylashgan boisa,
uning kanonik tenglamasitenglama parabolaning kanonik tenglamasi deyiladi. Parabola shaklini uning (12) tenglamasiga ko‘ra tekshiramiz. y2> 0 va p>0 bo‘lgani uchun (12) tenglamada x > 0 boMishi kerak. Bundan esa (12) tenglama bilan ifodalanuvchi parabolaning barcha nuqtalari o‘ng yarim tekislikda joylashganligi kelib chiqadi. x = 0 da (12) = > y = 0 bo‘Iib, parabola koordinatlar boshidan o‘tadi. Koordinatalar boshi parabolaning uchi deyiladi. x ning har bir x> 0 qiymatiga y ning ishoralari qarama-qarshi,
ammo absolyut miqdorlari teng bo'lgan ikki qiymati mos keladi. Bun­
dan esa parabolaning (Ox) o‘qqa nisbatan simmetrik joylashganligi
ko‘rinadi. (Ox) o‘qi simmetriya o‘qi. (12) tenglamadan ko‘rinadiki, x
ortib borishi bilan |j>| ham ortib boradi. Demak, yuqoridagi xossalarga ko‘ra parabolaning shaklini tasawur
qilish mumkin (59-chizma). Agar parabola koordinatalar sistemasiga nisbatan (60-a, b, d) chizmadagidek joylashgan bo‘lsa, ulaming tenglama-
lari mos ravishda x2=2py, y2= —2px, x2=~2py ko‘rinishda bo'ladi. Misol: x + 4=0 to‘g‘ri chiziq va F(—2; 0) nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalar geometrik o‘rnining tenglamasini tuzing
Yechish. K(x;y) nuqta biz izlayotgan geometrik o'rinning ixtiyoriy
nuqtasi bo‘lsin. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga asosan
|J5K| = 7 (* + 2)2 + y2 masala shartiga ko‘ra x + 4= 0 to'g'ri chiziq K(jc; y) nuqtadan \FK\ = x + 4 masofada bo'ladi.
Shuning uchun {^(x + 2)2 + y 2J = (x + 4)2 yoki
(x+2)2+ y 2=jt2+8jc+l6=> y 2—4 x H 2 = 0 yoki y 2=4;c+12; ^ = —J^2 -
Bu esa Ox o‘qiga nisbatan simmetrik bo'lgan parabola tenglamasidir.
7.5. Ellips va giperbolaning direktrisalari.
5-ta’rif. Ellips (giperbola) ning berilgan F fokusiga mos direktrisasi
deb uning fokal o'qiga perpendikulär va markazidan shu F fokusi
yotgan tomonda - masofada turuvchi to‘g‘ri chiziqni aytiladi.
Bu yerda a — ellips (giperbola)ning (haqiqiy) yarim o ‘qi,
e — ekssentrisiteti.
jF, va F2 ga mos direktrisalarini d, va d7 bilan belgilaymiz. T a’rifga
ko‘ra direktrisalar dx: x —— = 0; d2: x + — = 0 tenglamalarga ega
bo'Iadi. Ellips uchun e= > — >a, giperbola uchun e>l= > — bun-
dan esa ellipsning ham,giperbolaning ham direktrisalari ulami kes-
masligi ko'rinadi (61-a, b chizmalar). Ellips (giperbola)ning direktrisa­
lari uchun quyidagi mulohaza ham o‘rinlidir. Ellips (giperbola)ning
ixtiyoriy nuqtasidan fokusgacha bo'lgan masofani o'sha nuqtadan shu
fokusgacha mos direktrisasigacha bo'lgan masofasiga nisbati o'zgarmas miqdor bo‘lib, ellips (giperbola)ning ekssentrisitetiga teng.