Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar “ kafedrasi

Teorema. Ikkita erkli X va Y tasoddifiy miqdorlarning korrelyasion momenti nolga teng.

Isboti. X va Y erkli tasodifiy miqdorlar bo’lgani uchun ularning X-M(X) va Y-M(Y) chetlanishlari xam erklidir. Matematik kutilish va chetlanishning xossalaridan (erkli tasodifiy miqdorlar ko’paytmasining matematik kutilishi ko’paytuvchilarning matematik kutilishlari ko’paytmasiga teng, chetlanishning matematik kutilishi nolga teng). Foydalanib, quyidagini xosil qilamiz.

Korrelyasion moment ta’rifidan, u X va Y miqdorlar o’lchamliliklari ko’paytmasiga teng o’lchamlikka ega bo’lishi kelib chiqadi. Boshqacha so’z bilan aytganda, korrelyasion moment kattaligi tasodifiy miqdorlarning o’lcham birliklariga bog’liq. Shu sababdan ikkita bir xil tasodifiy miqdor uchun korrelyasion moment kattaligi miqdorlar qaysi o’lchov birligida o’lchanganiga qarab turli qiymatga ega bo’ladi.

Masalan, X va Y miqdorlar santimetrlarda o’lchangan bo’lib, kelib chiqqan bo’lsin. Agar X va Y ni millimetrlarda o’lchasak u xolda bo’ladi. Korrelyasion momentning bunday xususiyati bu son xarakteristikaning kamchiligidir, chunki bunda tasodifiy miqdorlar turli sistemalarining korrelyasion momentlarini taqqoslash qiyinlashadi. Bu kamchilikni bartaraf qilish maqsadida yangi son xarakteristika-korrelyasiya koeffisiyenti kritiladi.

X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyasiya koyeffisiyenti deb korrelyasion momentning bu miqdorlar o’rtacha kvadratik chetlanishlari ko’paytmasi nisbatiga teng.

ning o’lchamlari X va Y miqdorlar o’lchamliklari ko’paytmasiga teng. miqdor X o’lchamligiga, miqdor U o’lchamligiga ega bo’lgani uchun o’lchamsiz miqdordir. Shunday qilib korrelyasiya koyeffisiyenti tasodifiy miqdorlarning o’lchov birliklarining tanlanishiga bog’liq emas. Korrelyasiya koeffisiyentining korrelyasion momentdan ustunligi ham ana shundadir.

Erkli tasodifiy miqdorlarning korrelyasiya koeffisiyenti nolga tengligi ravshan (chunki ).

Eslatma: Extimollar nazariyasining ko’pgina masalalarida X tasodifiy miqdor o’rniga normalangan miqdorni tekshirish maqsadga muvofiqdir. miqdor chetlanishning o’rtacha kvadratik chetlanishga nisbati sifatida aniqlanadi.

Normallangan miqdor 0 ga teng matematik kutilishga va 1 ga teng dispersiyaga ega. Darhaqiqat, matematik kutilish va dispersiya xossalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

korrelyasiya koyeffisiyenti va normalangan miqdorlarning korrelyasion momentiga tengligiga osongina ishonch xosil qilish mumkin: