Fargʻona davlat universiteti Matematika-informatika fakulteti

Fargʻona davlat universiteti
Matematika-informatika fakulteti
Matematika yoʻnalishi 23.05-guruh talabasi
SIDDIQOV HADYATILLOH Analitik geometriya fanidan
Mustaqil taʼlimi
Mavzu: Aylana va sfera tenglamalariga doir masalalar yechimlari va ularning obrazi
Sfera (qadimgi yunoncha: σφαῖρα) — barcha nuqtalari fazoning biror O nuqtasidan bir xil R masofada yotadigan berk sirt, O nuqta Sfera markazi, Sfera markazini uning biror nuqtasi bilan tutashtiruvchi Rkesma Sfera radiusi deyiladi. Sfera markazidan oʻtuvchi tekislik uni katta aylana boʻylab kesadi. Sferaga oʻtkazilgan urinma tekislik urinish nuktasiga oʻtkazilgan radiusga tik boʻladi. Yuzi 4πR2 ga teng. Fazoning Sfera bilan chegaralangan va uning markazini oʻz ichiga olgan qismi shar deyiladi. Sharning hajmi V — 4/3πR3
formula bilan ifodalanadi.

1 Quydagi aylananing radiuslari va markazlarining koordinatalarini aniqlang a) x²+y²+2x-6y+5=0 x²+2x+1+y²-6y+9+5=10 (x+y)²+(y-3)²=5
x=-2. y=3. R=√5 J (-2;3) R=√5
b) x²+y²+4x-5=0 x²+4x+4+y²-5=4 (x+2)²+y²=9
x=-2. y=0. R=3 J (-2;0) R=3)

d ) x²-5+y²+4y=0 x²+(y+2)-5=4 x=0. y=-2. R=3. J: (0;-2). R=3
2 ) Aylananing radiusini toping. x²+y²+7y=0 x²+y²+7y+12,25=12,25 x²+(y+3.5)²=12,25
R=3,5
Umumiy tenglamasi bilan berilgan aylana markazi C ning koordinatalari va R radiusini toping.
9 x²+9y²+36x-18y+20=0
(x²+4x)+(y²-2y)+20/9=0
(x+2)-4+(y-1)²-1+20/50=0
(x+2)²+(y-1)²=(5/3)²
J: C(-2:1). R=5/3
4-misol:
(1,-2,0) nuqtadan va (x+1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=49, 2x+2y-z+4=0 aylanadan oʻtuvchi sfera tenglamasi tuzilsin.
Yechish:
Berilgan ma'lumotlarga ko'ra, aylanadan o'tuvchi sfera tenglamasini topish uchun quyidagi
qadamlarni amalga oshirishimiz mumkin:

1. 
   Tenglamalardan birinchisini o'zgartirib Z ni izolyatsiya qilamiz:
   

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (Z + 2)^2 = 49

2. 
   Berilgan nuqta (1, -2, 0) ni tenglamaga qo'yib, x, y va Z ni olib tashlaymiz:
   

(1 + 1)^2 + (-2 - 2)^2 + (0 + 2)^2 = 49
4 + 16 + 4 = 49
24 = 49

Yuqoridagi tenglama berilgan nuqta uchun yechimga ega emas. Shu sababli, berilgan nuqta aylanadan o'tuvchi sfera tenglamasiga tegmaydi.

Bunday holatda, berilgan nuqta (1, -2, 0) aylanadan o'tuvchi sfera tenglamasiga tegmaydi.

5-misol:
Quyidagi sfera markazining koordinatalari va radiusi aniqlansin. Yechish:
Berilgan sfera tenglamasini ko'rib chiqamiz:

x^2 + y^2 + z^2 - 12x + 4y - 6z = 0

Bu kubik tenglama standart shaklga o'tkazib, markaz va radiusni aniqlash uchun kerakli ma'lumotlarni topamiz.

1. 
   Kvadratlikni to'liqlash uchun, o'ng tomonni yuqoriga o'tkazamiz:
   

x^2 - 12x + y^2 + 4y + z^2 - 6z = 0

2. 
   Kvadratlikni to'liqlash uchun, ikkinchi darajani yuqoriga o'tkazamiz:
   

x^2 - 12x + 36 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 = 49

3. 
   Kvadratlikni to'liqlash uchun, chap tomonni yuqoriga o'tkazamiz:
   

x^2 - 12x + 36 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 + 1 = 49 +
1
(x - 6)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 50

Natijada, berilgan tenglama sfera markazining koordinatalari va radiusi quyidagicha:

Markaz koordinatalari: (6, -2, 3)
Radius: √50
6-misol:
Quyidagi sfera markazining koordinatalari va radiusi aniqlansin.
Yechish: Berilgan sfera
tenglamasini ko'rib chiqamiz:
x^2 + y^2 + z^2 + 8x = 0

Bu kubik tenglama standart shaklga o'tkazib, markaz va radiusni aniqlash uchun kerakli ma'lumotlarni topamiz.

1. 
   Kvadratlikni to'liqlash uchun, o'ng tomonni yuqoriga o'tkazamiz:
   

x^2 + 8x + y^2 + z^2 = 0

2. 
   Kvadratlikni to'liqlash uchun, o'ng tomonni yuqoriga o'tkazamiz:
   

x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2 = 16

3. 
   Kvadratlikni to'liqlash uchun, chap tomonni yuqoriga o'tkazamiz:
   

x^2 + 8x + 16 + y^2 + z^2 = 16 - 16
(x + 4)^2 + y^2 + z^2 = 0

Bu tenglama markaz koordinatalari (x, y, z) = (-4, 0, 0) bo'lgan to'g'ri chiziqda joylashgan. Lekin, radiusni hisoblashda qo'shimcha ma'lumotlarga ega bo'lishimiz kerak.

Kvadratlik tenglama yechimga ega bo'lishi uchun:
(x + 4)^2 + y^2 + z^2 = 0

Bu tenglama yalpi radiusli sferani ifodalaydi, lekin uchunchi darajali o'zgaruvchilarning kvadrati bo'ladigan qismi nol bo'lishi kerak. Bu holatda,

radiusning qiymati 0 ga teng bo'ladi.

Natijada, berilgan tenglama sfera markazining

koordinatalari va radiusi quyidagicha:

Markaz koordinatalari: (-4, 0, 0)

Radius: 0