Fazoda harakat. O`xshash almashtirishlar va gomotetiya

Fazoda harakat. O`xshash almashtirishlar va gomotetiya
Reja:
1 . Fazodagi harakat va ikki turlari
2. Fazoda harakatning klassifikatsiyasi
3. O`xshash almashtirishlar va gomotetiya

Fazodagi harakat va ikki turlari

Qaralayotgan bobda fazodagi eng sodda almashtirishlar o’rganiladi. Fazodagi almashtirishlarni o’rganishda ishlatiladigan ta’rif va teoremalar tekislikdagi almashtirishlarni o’rganishda ishlatilgan ta’rif va teoremalarga o’xshash bo’ladi. Tekislikdagi almashtirishlarda kiritilgan tushuncha va terminlardan foydalanamiz.
Fazoni almashtirish tushunchasi asosiy tushunchalardan biridir.
Fazodagi nuqtalarini almashtirishda ixtiyoriy ikki va nuqtalar orasidagi masofa, ularning akslari va nuqtalar orasidagi masofaga teng bo’lsa, ya’ni bo’lsa, u holda bunday almashtirish masofani o’zgartirmaydi deyiladi.
Ta’rif. Fazodagi masofani o’zgartirmaydigan almashtirishni harakat yoki siljitish deyiladi.
Ayniy almashtirish fazodagi eng sodda harakatga misol bo’la oladi (Ayniy almashtirish fazoning har bir nuqtasini o’z-o’ziga o’tkazadi).
Harakatga boshqa misollar ham keltiraylik.
1-misol. Fazoda ixtiyoriy vektor berilgan bo’lsin. Fazoning ixtiyoriy nuqtasiga

shartni qanoatlantiruvchi nuqta mos qo’yilsa, u holda bu almashtirishni vektor qadar parallel ko’chirish deb ataladi.
Teorema. Parallel ko’chirish harakatdir.

.

.

Isbot. Fazoda va nuqtalar berilgan bo’lsin. va nuqtalar esa ularning akslari (obrazlari) bo’lsin, u holda , bo’ladi. Shuning uchun vektorlarning tengligidan (147-chizma).
2-misol. Fazoda biror nuqtani olib, fazoning ixtiyoriy nuqtasini nuqtaga nisbatan nuqtaga mos qo’yuvchi simmetrik akslantirishni qaraylik.
Bu akslantirish almashtirish bo’lib, nuqtaga nisbatan simmetrik (markaziy simmetriya yoki nuqtadan qaytish) deyiladi.
Teorema. Nuqtaga nisbatan simmetrik almashtirish harakatdir.
Isboti o’quvchilarga havola qilinadi.
3-masala. Fazodagi tekislikni olib, fazoning ixtiyoriy nuqtasini tekislikka nisbatan simmetrik nuqtasiga akslantirishni olaylik (44-chizma). Bu akslantirishni tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish deyiladi.
Teorema. Tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish harakatdir.
Isboti. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasining koordinatalar tekisligi tekislik bilan ustma-ust tushsin deylik (44-chizma). va fazoning ixtiyoriy nuqtalari va nuqtalar esa ularning simmetrik almashtirishdagi akslari (obrazlari) bo’lsin. bo’lgani uchun va nuqtalar , koordinatalarga ega bo’ladi, u holda ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalanib quyidagini topamiz.
.
Demak, . Bu esa tekislikka nisbatan simmetrik almashtirish harakat ekanligini bildiradi.
Harakatning quyidagi xossalarini isbotlash mumkin:
1. Harakat tekisliklarni tekisliklarga, parallel tekisliklarni parallel tekisliklarga o’tkazadi.
2. Harakat to’g’ri chiziqlarni to’g’ri chiziqlarga, parallel to’g’ri chiziqlarni parallel to’g’ri chiziqlarga o’tkazadi.
3. Harakat ikki yoqli burchakni o’ziga teng ikki yoqli burchakka o’tkazadi.
4. Harakat uchta nuqtaning oddiy nisbatini saqlaydi.
5. Harakat to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasiga o’tkazadi.
Harakatning ikki turi. Invariant nuqta, to’g’ri chiziq va tekislik

1. 
   Fazoda ikkita va affin koordinatalar sistemasi bir xil oriyentirlangan (qarama-qarshi oriyentirlangan) bo’lishi uchun bazis va bazis vektorlar bir xil yo’nalishga (qarama-qarshi yo’nalishga) ega bo’lishi kerak (7-§ ga qarang).
   

Teorema. Fazodagi ixtiyoriy harakat yo fazo oriyentatsiyasini saqlaydi yoki oriyentatsiyasini o’zgartiradi.
Bu teoremaning isboti tekislik uchun berilgan teorema isbotiga o’xshash bo’ladi.
Shunday qilib, fazoda ikki tur harakat mavjud: birinchi fazo oriyentatsiyasini o’zgartirmaydigan, ikkinchisi fazo oriyentatsiyasini o’zgartiradigan harakat. Birinchi holdagi harakatni birinchi tur harakat, ikkinchi holdagi harakatni ikkinchi tur harakat deyiladi.
2. Fazoda ham invariantlik masalalari tekislikdagidek hal qilinadi.
Agar fazo nuqtasi almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, bunday nuqtani fazoning invariant (qo’zg’almas) nuqtasi deyiladi. Shunga o’xshash to’g’ri chiziq (tekislik) almashtirishda o’zi-o’ziga o’tsa, invariant to’g’ri chiziq (tekislik) deyiladi.
Xususan, invariant to’g’ri chiziqning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan, invariant tekislikning hamma nuqtalari invariant nuqtalardan iborat bo’lishi mumkin.
Fazoda -harakat va invariant tekislik berilgan bo’lsin. Bu harakatda invariant tekislikning ixtiyoriy nuqtasi yana shu tekislik nuqtasiga o’tadi, ya’ni tekislikda akslantirish vujudga keladi, bu akslantirish harakatdan iborat ekanligi ravshan, chunki masofani saqlaydi. Bu almashtirishni -harakatning tekislikka indutsirlangan (singdi­ril­gan) harakati deyiladi.
Harakatning turlarini aniqlash uchun zarur bo’ladigan uchta teoremani beramiz.
1-teorema. Agar harakat invariant nuqtaga ega bo’lmasa, u holda ixtiyoriy ikki invariant to’g’ri chiziqlari parallel bo’ladi.
Isbot. Teskarisini faraz qilib isbotlaymiz. -harakatning parallel bo’lmagan va invariant to’g’ri chiziqlari bo’lsin. U holda bu to’g’ri chiziqlar yo kesishadi yoki ayqash bo’ladi. Birinchi holda, nuqta va to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtasi -harakatda nuqtaga o’tsin. Bu nuqta ham to’g’ri chizig’ida, ham to’g’ri chizig’ida yotadi, ya’ni . Bu teorema shartiga ziddir (invariant nuqta yo’q).