1. Maydon tushunchasi.
1.1. Maydonlarning ta‟riflari.
Klassik ta'rif
Bir
maydon
bir
emas
majmui
F ikki
birgalikda
ikkilik
operatsiyalar
to'g'risidagi F chaqirdi qo'shimcha va ayirish .
[1]
o'zaro
bir
operatsiya F bir xaritalash bo'lgan F × F → F , deb, bir yozishmalar bu elementlarning
har buyurdi juft bilan Associates F bir noyob belgilangan element F .
[2] [3]
Bundan
tashqari natijasi bir va b yig'indisi deb ataladi bir va b , va ifodalanadi A+ b . Xuddi
shunday,
ko'paytirish
natijasida bir va b mahsuli
deb
ataladi bir va b ,
va
ifodalanadi Evropa Ittifoqi yoki bir
⋅ b . Bu operatsiyalar deb ataladi quyidagi
xususiyatlarga, qondirish uchun zarur bo'lgan
maydon o'zgarish
(bu o'zgarish,
ham bir , b , va c o'zboshimchalik bo'lgan
elementlar
maydon F ):
Qo'shish va ko'paytirishning
assotsiativligi
: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c va a ·
( b · c ) = ( a · b ) · c .
Qo'shish va ko'paytirishning
kommutativligi
: a + b = b + a va a · b = b · a .
Qo'shimcha
va
multiplikativ identifikatsiya
: F da ikkita turli xil elementlar
mavjud 0 va 1 , shuning uchun a + 0 = a va a · 1 = a .
Qo'shimcha
inverses
:
har
bir
uchun A yilda F ,
bir
elementi
mavjud F belgilanadi, - bir , deb nomlangan qo'shimcha teskari bir bir , shunday bir +
(- a ) = 0 .
Ayirish inverses
: har bir uchun A ≠ 0 yilda F , bir elementi mavjud F tomonidan
belgilanadi, bir
-1
yoki 1 / a chaqirib, ayirish teskari bir bir , shunday bir · bir
-1
= 1 .
Ko'paytirishning qo'shimcha ustiga
taqsimlanishi
: a · ( b + c ) = ( a · b ) +
( a · c ) .
Buni quyidagicha ifodalash mumkin: maydonda ikkita operatsiya mavjud, ular
qo'shish va ko'paytirish deb nomlanadi; bu qo'shimchali identifikator sifatida 0 bilan
qo'shilgan
abeliya guruhi
; nolga teng bo'lmagan elementlar ko'paytiriladigan abeliya
guruhi bo'lib, ko'paytma identifikatori sifatida 1 ga teng; va ko'paytma qo'shimcha
ustiga taqsimlaydi.
Hatto yanada umumlashtirilishi: dala bir emas
kommutativ halqa
qaerda
va
nolga teng bo'lmagan barcha elementlar teskari.
Muqobil ta'rif
Maydonlarni turli xil, ammo ularga teng keladigan usullar bilan aniqlash
mumkin. Shu bilan bir qatorda maydonni to'rtta ikkilik operatsiya (qo'shish, ayirish,
ko'paytirish va bo'lish) va ularning zaruriy xususiyatlari bilan belgilash
mumkin.
Nolga
bo'linish
,
ta'rifga
ko'ra,
chiqarib
tashlangan.
[4]
Ekzistensial
kvantatorlardan
qochish uchun maydonlarni ikkita ikkilik operatsiya (qo'shish va
ko'paytirish), ikkita unary operatsiyalar (mos ravishda qo'shimchalar va multiplikativ
inversiyalar hosil qiladi) va ikkita
nollar
amallar (doimiylar 0 va 1 ) bilan aniqlash
mumkin. Keyinchalik
ushbu
operatsiyalar
yuqoridagi
shartlarga
bo'ysunadi. Ekzistensial
miqdorlarni
oldini
olish
konstruktiv
matematikada
va
hisoblash
.
[5]
Ekvivalent ravishda maydonni bir xil ikkita ikkilik
operatsiya, bitta unar operatsiya (multiplikativ teskari) va ikkita doimiy 1 va -1 bilan
belgilash mumkin , chunki 0 = 1 + (-1) va - a = (-1) a .
Ratsional raqamlar
Ratsional sonlar maydon kontseptsiyasi ishlab chiqilishidan ancha oldin keng
qo'llanilgan. Ular
yozilgan
bo'lishi
mumkin
sonlar
kasrlar
bir / b , a va b bo'lgan
natural son
, va b ≠ 0 . Bunday qismning teskari
qo'shimchasi - a / b va multiplikativ teskari ( a- 0 bo'lishi sharti bilan ) b / a bo'lsa ,
buni quyidagicha ko'rish mumkin:
Abstrakt ravishda talab qilinadigan maydon aksiomalari ratsional sonlarning standart
xususiyatlariga kamayadi. Masalan, tarqatish qonunini quyidagicha isbotlash mumkin:
Haqiqiy va murakkab sonlar
Asosiy maqolalar:
Haqiqiy raqam
va
Kompleks raqam
Real raqamlari
Dostları ilə paylaş: |