Fizika-matematika fakulteti

II-Bob. Sferik geometriyaning asosiy tushunchalari.
2.1. Sferadagi burchak yoylar va ularni o’lchash .
Sfera markazidan o’tuvchi istalgan tekislikning sfera bilan kesishishidan hosil qilgan aylanasi katta aylana , boshqa barcha aylanalar kichik aylanalar ekanligi bizga ma’lum. Sferada joylashgan ikkita turli nuqtalarni sfera bo’ylab yoylar bilan tutashtirish mumkin. Bunday yoylar cheksiz ko’p bo’ladiki , ularning ichidan eng qisqa uzunlikka ega bo’lgan yoy alohida xarakterlidir , chunki bunday yoy uzunligini qaralayotgan sfera radiusi va mos markaziy burchak orqali ifodalasa bo’ladi.
Sferaning ikki nuqta orasidagi qisqa masofa deganda ularni tutashtiruvchi katta aylana yoyi tushuniladi .
Sferaning bitta katta aylanasi ustida yotmaydigan uchta nuqatalarining har ikkitasidan o’tuvchi katta aylanalarning yoylari chegaralab turgan sferik sirt , sfera sirtida joylashgan uchburchak yoki qisqacha sferik uchburchak deyiladi. Sferik uchburchakning uchlari va ularga mos burchaklarini bir xil bosh harflar bilan burchaklar qarshisidagi tamonlarni (yoylarni) mos ravishda bir xil mos kichik harflar bilan belgilanadi . 2-rasm
Masalan, ABC – sferik uchburchak deganda , A,B,C – sferik uchburchakning bir vaqtda uchlari va burchaklarini belgilanishini a,b,c, -sferik uchburchakning A,B,C burchaklari (uchlari ) qarshisidagi tomonlari (mos katta aylana yoylari ya’ni mos markaziy burchak miqdori) belgilanishini bildiradi. (2-rasm)
Sferik uchburchakda har bir burchagi va har bir tomoni uzunligining gradus o’lchovi 180⁰ dan kichik bo’lgan sferik uchburchakar Eyler sferik uchburchaklari deb yuritiladi va biz Eylerning sferik uchburchaklarini yechish bilan shug’ullanamiz .
ABC sferik uchburchak a, b, c tomonlari va A,B,C burchaklari uchun (Eyler sferik uchburchagi ) quyidagi munosabatlar o’rinlidir .
1). a+b>c , a+c>b , b+c>a
2). a-b0
4). 180⁰0
5). A+B-C<180⁰ , A+C-B<180⁰ B+C-A<180⁰
Sfera sirtida joylashgan ABC sferik uchburchakning uchlaridagi A,B,C burchaklari va mos a, b, c tomonlari orasidgi bog’lanishlarni ifodalovchi ushbu formulani ifodalaymiz :
(1)
bunda b va c tamonlarning har biri 90⁰ yoydan kichik uzunlikka ega deb faraz qilamiz. Uchburchakning A uchidan AB va AC yoylarga urunmalar o’tkazamiz . Bu urunmalar sferaning OB va OC radiuslari bo’ylab yo’nalgan to’g’ri chiziqlarning mos ravishda M va N nuqtalarida kesishadi
Tekis AMN uchburchak uchun kosinuslar teoremasini qo’llab quyidagi tenglikni hosil qilamiz
MN²= AN²+AM²-2AN AM cosA (2)
Shu kabi OMN uchburchakdan
MN²=OM²+ON²-2 OM ON cosa (3)
Tenglikni yozib olamiz Yozilgan (2) va (3) tengliklarni o’ng tomonlarini tenglashtiramiz
AN²+AM²-2AN AM cosA=OM²+ON²-2 OM ON cosa (3)
bu tenglikdan ushbu
2 OM ON cosa= OM²+ON²- AN²+AM²-2AN AM cosA (4)
tenglikni hosil qilamiz .
Tekis to’g’ri burchakli OMA uchburchakdan Pfagor teroremasiga ko’ra
OM²-AM²=OA² (5)
tekis to’gri burchakli ONA uchburchakdan
ON²-AN²=OA² (6)
tengliklarni yozib olamiz va bu (5) va (6) tengliklarni (4) tenglikka qo’yib , natijani 2ga qisqartirib quyidagi tenglikni hosil qilamiz .
OM ON cosa= OA²+AN AM cosA (7)
Hosil bo’lgan (7) tenglikdan hadma – had OM ON ko’paytmaga bo’lib

tenglikka ega bo’lamiz . Tekis to’g’ri burchakli OAN, OAM uchburchaklar uchn

Tengliklar o’rinli . Yozilgan ushbu tengiklarni (8) tenglikka qo’yib isbotlashimiz kerak bo’lgan :
(1)
ni hosil qilamiz .
Biz qarayotgan formilani isbotashda b va c yoylar 90⁰ dan kichik uzunlikka ega bo’lgan holni qaradik .