Fizika-matematika fakulteti

Belgilanishlar : Misollar yechishning boshlanishi va tugashi
” ■”,”■” belgilar bilan ko’rsatilgan.

I BOB. DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
1.1-§ Differensial tenglama haqida tushunchalar.


1 – ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi , noma’lum funksiya va uning hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi.
Nomalum funksiyaning hosilasi yoki differensiali “differensial” tenglama deyiladi.
Agar izlangan funksiya bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, u holda differensial tenglama oddiy differensial tenglama.
Masalan:

Bir nechta o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa, xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.


Masalan:

2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi. Umumiy holda n- tartibli differensial tenglama ko’rinishi :

3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differensiyalanuvchi funksiyaga aytiladi.
Differensial tenglama yechimining grafigi integral chiziq deyiladi.
Masalan:
-funksiya berilgan differensial tenglamaning yechimi bo’lib, bu holda integral chiziq paraboladan iborat bo’ladi.
1.2-§ Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.
Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
(1)
Agar bu tenglamani birinchi tartibli xosilaga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda
(2)
tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, (2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. (2) tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o’rinli :
Teorema. Agar (2) tenglamada funksiya va undan bo’yicha olingan xususiy hosila tekisligidagi nuqtani o’z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi birgina yechimi mavjud.
da funksiya songa teng bo’lishi kerak degan shart boshlang’ich shart deyiladi:

4 – ta’rif. Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb bitta ixtiyoriy o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi

funksiyaga aytiladi:
a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy da qanoatlantiradi;
b) da boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday qiymat topiladiki, funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
5 – ta’rif. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi tenglik (1) differensial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
6 – ta’rif. Ixtiyoriy - o’zgarmas miqdorda ma’lum qiymat berish natijasida umumiy yechimdan hosil bo’ladigan har qanday funksiya xususiy yechim deyiladi. - xususiy integral deyiladi.
7-ta’rif. (1.1) differensial tenglama uchun const munosabat bajariladigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan differensial tenglamaning izoklinasi deyiladi.
₍₃₎
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Ushbu :
(4)
ko’rinishdagi tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
kabi belgilaniladi.