m=-1/2 bo’lganda:
(6)
Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:
(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х2 ifodani qo’ysak:
|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:
Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
arcsin1=
Teylor formulasi. Ba’zi-bir elementar funksiyalar uchun Teylor formulalari. Teylor formulasining limitlarni hisoblashga, taqribiy hisobga tatbiqlari Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
1. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning x0nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra, agar y=f(x) funksiya x0nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini ya’ni
ko‘rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aytganda x0 nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun birinchi darajali
ko‘phad mavjud bo‘lib, da bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada hosilalarga ega bo‘lsa, u holda
shartni qanoatlantiradigan darajasi n dan katta bo‘lmagan ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan koeffitsientlarni topishda
shartlardan foydalanamiz. Avval Pn(x) ko‘phadning hosilalarini topamiz:
Yuqorida olingan tengliklar va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o‘rniga x0 ni qo‘yib barcha koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:
Bulardan hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo‘yamiz va
ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini orqali belgilaymiz: . (4) shartlardan bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi ya’ni ekanligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, ifodaning ko‘rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini n marta tatbiq qilamiz. U holda
, demak da o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
