Funksiyaning nuqtadagi limiti

Funksiyaning nuqtadagi limiti.
Ta‘rif. Argument х ning а dan farqli va unga yaqinlashuvchi barcha ketma-ketliklar uchun funksiyaning shu ketma-ketlik nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan ketma-ketlik b songa yaqinlashsa, b son funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki dagi) limiti deb ataladi va yoki da ko‘rinishda yoziladi.
Misol. ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.
Yechish. = funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6) intervalda qaraylik. Ixtiyoriy sonni olib ni deb quyidagicha o‘zgartiramiz:
= .
x>4 ekanini hisobga olsak |x|=x>4 bo‘lib < kelib chiqadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha uchun
<
tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni = funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo‘lishi kelib chiqadi.
Misol. ekani isbotlansin.
Yechish. = funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak, = >M tengsizlik bo‘lganda bajarilishi ko‘rinib turibdi. Agar deb olinsa, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun > =M yoki >M tengsizlik bajariladi. Bu esa da = funksiya cheksizlikka intilishini bildiradi, ya‘ni
Misol. ekani isbotlansin.
Yechish. = funksiyani qaraylik. Istalgan sonni olsak bo‘lib desak, barcha |x|>N uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan 1 soni = funksiyaning dagi limiti bo‘lishi ayon bo‘ladi.
Misol. ekani isbotlansin.
Yechish. = funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib tengsizlikni tuzamiz. >M, bundan kelib chiqadi. deb olinsa, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun tengsizlik bajariladi. Bu ekanini bildiradi.
Masalan,

funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki =-1, =1 va (6-chizma). Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

6-chizma.
Mustaqil yechish uchun mashqlar.
1. а) b) d) ketma-ketliklarning monotonligi va chegaralanganligi haqida nima deyish mumkin?
2. Limitning ta‘rifidan foydalanib quyidagidar isbotlansin: а) b) ; d) .
3. ketma-ketlikning limitga ega emasligini ko‘rsating.
4. ekanligini isbotlang.
5. ekanligini isbotlang.
6. funksiya х=0 nuqtada limitga ega emasligini ko‘rsating.
Ko‘rsatma. Argument х ning 0 ga yaqinlashadigan ikkita va ketma-ketliklarga mos funksiyaning qiymatlari ketma-ketliklari va har xil limitlarga ega ekanligini isbotlang.
7. funksiya da cheksiz kichik funksiya ekanligini ko‘rsating.
8. funksiya da cheksiz katta funksiya ekanligini ko‘rsating.
9. funksiya da cheksiz katta funksiya ekanligini ko‘rsating.
10. funksiya da cheksiz katta funksiya ekanligini ko‘rsating.
11.
funksiyaning x=0 vax=1 nuqtalardagi bir tomonlama limitlari topilsin.
_Javob: