Furye qatori. Funksiyalarni Furye qatoriga yoyish

Keywords:
Fourier series, Fourier coefficients. Fourier series expansion of 
functions. 
 
1. Furye qatori. 
Faraz qilaylik,
 
( )
f x
funksiya 
(
)
,
= − + 
R
da berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, 
shunday 
 
\ 0

T
R
son topilsaki, 
 
x
R
da
(
)
( )
+
=
f x T
f x
 
tenglik bajarilsa, 
( )
f x
davriy funksiya, 
0

T
son esa uning davri deyiladi. 
Agar 
0

T
son 
( )
f x
funksiyaning davri bo‘lsa, u holda 
kT
(
)
1, 2,
=  
k
sonlar ham shu funksiyaning davri bo‘ladi. 
Agar 
( )
f x
va 
( )
g x
davriy funksiyalar bo‘lib, 
0

T
ularning davri bo‘lsa,
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
,
,
0
f x
f x
g x
f x
g x
g x
g x



funksiyalar ham davriy bo‘lib, ularning davri 
T
ga teng bo‘ladi. 
sin ,
cos
y
x y
x
=
=
funksiyalar 
2

=
T
davrli funksiya bo‘lgan holda ushbu 
( )
cos
sin



=
+
x
a
x b
x
(
, ,

−
a b
o‘zgarmas, 
0


) 
funksiya ham davriy funksiya bo‘lib, uning davri 
2


=
T
bo‘ladi. Haqiqatan 
ham, 
(
)
(
)
( )
2
2
2
cos
sin
cos
2
sin
2
cos
sin
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
x b
x
x


























+
=
+
+
+
=




















=
+
+
+
=
+
=
bo‘ladi. 
Bu 
( )
cos
sin



=
+
x
a
x b
x
sodda davriy funksiya bo‘lib, u garmonika deb 
ataladi. 
Aytaylik, 
( )
f x
funksiya 


,
 
−
da uzluksiz bo‘lsin. Unda 
( )
( )
(
)
cos
,
sin
1, 2,3,
f x
nx f x
nx
n
=
funksiyalar ham 


,
 
−
da uzluksiz bo‘lib, ular 


,
 
−
da integrallanuvchi 
bo‘ladi. Bu integrallarni quyidagicha belgilaymiz: 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.848 (SJIF)
January 2023 / Volume 4 Issue 1
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
78

---

( )
( )
(
)
( )
(
)
0
1
,
1
cos
,
1, 2,
1
sin
.
1, 2,
n
n
a
f x dx
a
f x
nxdx
n
b
f x
nxdx
n









−
−
−
=
=
=
=
=



(1) 
Bu sonlardan foydalanib, ushbu 
(
)
0
1
cos
sin
2

=
+
+

n
n
n
a
a
nx b
nx
(2) 
qatorni ( uni trigonometrik qator deyiladi) hosil qilamiz. 
(2) qator funksional qator bo‘lib, uning har bir hadi garmonikadan iborat. 
Ta’rif.
(2) funksional qator 
( )
f x
funksiyaning Furye qatori deyiladi. (1) 
munosabatlar bilan aniqlangan 
0
1
1
2
2
,
, ,
,
,
,
,
,
n
n
a a b a b
a b
sonlar Furye koeffitsiyentlari deyiladi. 
7.2. Funksiyalarni Furye qatoriga yoyish. 
Demak, berilgan 
( )
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari shu funksiyaga 
bog‘liq bo‘lib, (2) formulalar yordamida aniqlanadi, qator esa quyidagicha: 
( )
(
)
0
1
~
cos
sin
2

=
+
+

n
n
n
a
f x
a
nx b
nx
. 
belgilanadi. 
1-misol.
Ushbu 
( )
(
)
,
0
x
f x
e
x


 
=
−  

funksiyaning Furye qatori topilsin. 
(1) formulalardan foydalanib, berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini 
hisoblaymiz: 
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
,
1
1
cos
sin
cos
1
2
1
1, 2 ,
,
1
1
sin
cos
sin
1
2
1
1, 2 ,
.
x
x
x
n
n
x
x
n
n
a
e dx
e
e
sh
nx
n
nx
a
e
nxdx
e
n
sh
n
n
nx n
nx
b
e
nxdx
e
n
n
sh
n
n



























 





 
−
−
−
−
−
−
−
=
=
−
=
+
=
=
=
+
= −

=
+
−
=
=
=
+
= −

=
+



Demak, 
( )

=
x
f x
e
funksiyaning Furye qatori 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.848 (SJIF)
January 2023 / Volume 4 Issue 1
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
79

---

( )
(
)
( ) (
)
0
1
2
2
1
~
cos
sin
2
1
2
1
cos
sin
2







=

=
=
+
+
=


−
=
+
−


+






x
n
n
n
n
n
a
f x
e
a
nx b
nx
sh
nx n
nx
n
bo‘ladi. 
Aytaylik, 
( )
f x
funksiya 


,
 
−
da berilgan juft funksiya bo‘lsin: 
( )
( )
− =
f
x
f x
. 
U holda 
( )
cos

f x
nx
juft, 
( )
sin

f x
nx
toq 
(
)
1, 2,3,...
=
n
funksiya bo‘ladi. 
(1) formulalardan foydalanib, 
( )
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini 
topamiz: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
0
0
0
0
0
1
1
cos
cos
cos
1
cos
cos
2
cos
0,1, 2,
.
n
a
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
n











−
−


=
=
+
=






=
+
=




=






( )
( )
( )
( )
( )
(
)
0
0
0
0
1
1
sin
sin
sin
1
sin
sin
0
1, 2,
.









−
−


=
=
+
=






=
−
+
=
=









n
b
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
n
Demak, juft 
( )
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari 
( )
(
)
(
)
0
2
cos
0,1, 2,
0
1, 2,
n
n
a
f x
nxdx
n
b
n


=
=
=
=

bo‘lib, Furye qatori 
( )
0
1
~
cos
2

=
+

n
n
a
f x
a
nx
bo‘ladi. 
Aytaylik, 
( )
f x
funksiya 


,
 
−
da berilgan toq funksiya bo‘lsin: 
( )
( )
− = −
f
x
f x
. U holda
( )
cos

f x
nx
toq, 
( )
sin

f x
nx
juft 
(
)
1, 2,3,...
=
n
funksiya bo‘ladi. 
(1) formulalardan foydalanib, 
( )
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini 
topamiz: 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.848 (SJIF)
January 2023 / Volume 4 Issue 1
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
80

---

( )
( )
( )

( )
( )
(
)
0
0
0
1
1
cos
cos
cos
1
cos
cos
0
0,1, 2,
,








−
−


=
=
+
=




=
−
+
=
=





n
a
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
n
( )
( )
( )
( )
(
)
0
0
0
1
1
sin
sin
sin
2
sin
1, 2,
.








−
−


=
=
+
=






=
=








n
b
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
f x
nxdx
n
Demak, toq 
( )
f x
funksiyaning Furye koeffitsiyentlari 
(
)
( )
(
)
0
0,
0,1, 2,
,
2
sin
,
1, 2,
n
n
a
n
b
f x
nxdx
n


=
=
=
=

bo‘lib, Furye qatori 
( )
1
~
sin

=

n
n
f x
b
nx
bo‘ladi. 
2-misol. 
Ushbu 
( )
(
)
2
f x
x
x


=
−  
juft funksiyaning Furye qatori topilsin. 
Avvalo berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz: 
( )
(
)
2
2
0
0
2
2
0
0
0
2
0
0
2
2
,
3
2
2
sin
4
cos
sin
4
cos
1
4
cos
1
.
1, 2,
n
n
a
x dx
nx
a
x
nxdx
x
x
nxdx
n
n
x
nx
nxdx
n
n
n
n
n












=
=
=
=
−
=


=
−
= −

=










Demak, 
( )
2
=
f x
x
funksiyaning Furye qatori 
( )
( )
2
2
2
1
cos
~
4
1
3


=
=
+
−

n
n
nx
f x
x
n
bo‘ladi. 
3-misol.
Ushbu 
( )
(
)
f x
x
x


=
−  
toq funksiyaning Furye qatori topilsin. 
Berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz: 
( )
1
0
0
0
2
1
2
2
cos
1
sin
cos





−


−
=
=
−
+
=








n
n
x
nx
b
x
nxdx
nxdx
n
n
n
. 
Demak, 
( )
=
f x
x
funksiyaning Furye qatori 
( )
( )
1
1
2
~
1
sin

−
=
−

n
n
f x
nx
n
bo‘ladi. 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.848 (SJIF)
January 2023 / Volume 4 Issue 1
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
81

---

Faraz qilaylik, 
( )
f x
funksiya 


,
−
p p
 
(
)
0

p
segmentda uzluksiz bo‘lsin. 
Ma’lumki, ushbu

=
t
x
p
almashtirish 


,
−
p p
 
oraliqni 


,
 
−
ga o‘tkazadi, ya’ni 
x
o‘zgaruvchi 


,
−
p p
 
da 
o‘zgarganda 
t
o‘zgaruvchi 


,
 
−
da o‘zgaradi. Endi
( )
( )
.




=
=




p
f x
f
t
t
deymiz. Unda 
( )

t
funksiya 


,
 
−
oraliqda berilgan uzluksiz funksiya bo‘ladi. 
Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlari
( )
(
)
( )
(
)
1
cos
,
0 ,1, 2 ,
1
sin
1, 2 ,
n
n
a
t
ntdt
n
b
t
ntdt
n








−
−
=
=
=
=


ni topib, Furye qatorini yozamiz: 
( )
(
)
0
1
~
cos
sin
2


=
+
+

n
n
n
a
t
a
nt
b
nt
. 
Modomiki, 

=
t
x
p
ekan, unda 
0
1
~
cos
sin
,
2





=




+
+









n
n
n
a
x
a
n
x b
n
x
p
p
p
bo‘lib, uning koeffitsiyentlari 
(
)
(
)
1
cos
,
0,1, 2
1
sin
.
1, 2
p
n
p
p
n
p
a
x
n
xdx
n
p
p
p
b
x
n
xdx
n
p
p
p






−
−


=
=






=
=






bo‘ladi. Natijada 


,
−
p p
da berilgan 
( )
f x
funksiyaning Furye qatorini 
quyidagicha 
( )
0
1
~
cos
sin
2



=


+
+





n
n
n
a
n x
n x
f x
a
b
p
p
bo‘lishini topamiz, bunda 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.848 (SJIF)
January 2023 / Volume 4 Issue 1
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
82

---

( )
(
)
( )
(
)
1
cos
0,1, 2
1
sin
1, 2
p
n
p
p
n
p
n x
a
f x
dx
n
p
p
n
b
f x
xdx
n
p
p


−
−
=
=
=
=


4-misol.
Ushbu 
( )
(
)
1
1
x
f x
e
x
=
−  
funksiyaning Furye qatori topilsin. 
Yuqoridagi 
formulalardan 
foydalanib, 
( )
=
x
f x
e
funksiyaning 
Furye 
koeffitsiyentilarini topamiz: 
(
)
( )
(
)
1
1
1
1
0
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
sin
cos
,
cos
1
1
cos
cos
1
1, 2 ,
,
1
1
x
x
x
n
n
n
n x
n x
a
e dx
e e
a
e
n xdx
e
n
e e
e
n
e
n
n
n
n









−
−
−
−
−
−
−
=
= −
=
=
=
+
−
=
−
= −
=
+
+


(
)
1
1
2
2
1
1
1
2
2
sin
cos
cos
1
1
cos
cos
1










−
−
−
−
=
=
=
+
=
+
=
+

x
x
n
n x
n
n x
b
e
n xdx
e
n
en
n
n e
n
n
( )
(
)
( )
(
)
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1, 2,
1
1
n
n
n
e e
e
e
n
n
n



−
+
−
−
−
=
− = −
=
+
+
Demak, 
( )
(
)
1
1
x
f x
e
x
=
−  
funksiyaning Furye qatori 
(
)
( )
( )
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
~
cos
sin
2
1
1





+
−

−
=


−
−
−
+ −
+


+
+





n
n
x
n
e e
e
e e
n
n
n x
n
n
bo‘ladi. 
Aytaylik, 
( )
f x
funksiya 
 
,
a b
da berilgan bo’lsin. 
 
,
a b
segment 
k
a
nuqtalar 
yordamida bo‘laklarga ajratilgan. 
0
(
,
)
=
=
n
a
a a
b
. 
Agar har bir 
(
)
1
,
+
k
k
a a
(
)
0,1, 2,
,
1
=
−
k
n
da 
( )
f x
funksiya differensiallanuvchi 
bo‘lib, 
=
k
x
a
nuqtalarda chekli o‘ng 
(
) (
)
0
0,1, 2,
,
1
k
f
a
k
n

+
=
−
, 
va chap 
(
) (
)
0
0,1, 2,
,
k
f
a
k
n

−
=
hosilalarga ega bo‘lsa, 
( )
f x
funksiya 
 
,
a b
da bo‘lakli-differensiallanuvchi 
deyiladi.
Endi Furye qatorining yaqinlashuvchi bo‘lishi haqidagi teoremani isbotsiz 
keltiramiz. 
"Science and Education" Scientific Journal / Impact Factor 3.848 (SJIF)
January 2023 / Volume 4 Issue 1
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842
83

---

Teorema.
2

davrli 
( )
f x
funksiya 


,
 
−
oraliqda bo‘lakli-differensiallanuvchi 
bo‘lsa, u holda bu funksiyaning Furye qatori 
( )
(
)
0
1
~
cos
sin
2

=
+
+

k
k
k
a
f x
a
kx b
kx


,
 
−
da yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi 
(
)
(
)
0
0
2
+ +
−
f x
f x
ga teng bo‘ladi. 
5-misol.
Ushbu 
( )
(
)
cos
,
f x
ax
x
a
n
Z


=
−  
 
funksiyaning Furye qatori 
topilsin va u yaqinlashishga tekshirilsin. 
Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz. Qaralayotgan funksiya juft 
bo‘lgani uchun 
(
)
0
1, 2,3,
n
b
n
=
=
bo‘lib, 
(
)
(
)
( )
0
0
2
cos
cos
cos
cos
sin
1
1
1





=
=
−
+
+
=






=
−
+


+
−




n
n
a
ax
nxdx
a
n x
a
n x dx
a
a
n
a
n
bo‘ladi. Demak, 
( )
( )
1
sin
1
1
1
~
1
cos



=




+
−
+




+
−





n
n
a
f x
nx
a
a
n
a
n
. 
Agar 
( )
cos
=
f x
ax
funksiya teoremaning shartlarini bajarishini e’tiborga olsak, 
unda
( )
1
sin
1
1
1
cos
1
cos



=




=
+
−
+




+
−





n
n
a
ax
nx
a
a
n
a
n
bo‘lishini topamiz.