Gruppaning xossalari. Gruppa elementi tartibi

Gruppaning xossalari. Gruppa elementi tartibi
Teorema 1. (G,*) gruppa bo’lsin. U holda

1. 
   _{a G uchun (a-1)-1=a}
   
2. 
   _{(a*b)-1=b-1*a-1 a,b G}
   

_{iii) a,b,c G uchun a*c=b*c yoki c*a=c*b bo’lsa, u holda a=b.(qisqartirish qoidasi)
iv) a,b G uchun a*x=b va y*a=b tenglamalar G da yagona yechimga ega
Natija. G gruppa va a G bo’lsin. Agar a*a=a bo’lsa, u holda a=e(e G ning birlik elementi)
Teorema 2. (S,*) yarim gruppa gruppa bo’lishi uchun quyidagilar bajarishi zarur va yetarli:}

1. 
   _{Ǝ yagona e S topilib, a S uchun e*a=a}
   
2. 
   _{a S uchun Ǝ b S topiladiki,ular uchun b*a=e bo’ladi.}
   

_{Isbot. Zarurligi. (S,*)gruppa bo’lsa, gruppa ta’rifidan i) va ii) shartlar o’rinli bo’ladi.
Yetarliligi. (S,*) yarim gruppa va i) hamda ii) lar o’rinli bo’lsin. Aytaylik, a S ning biror elementi. ii) ga ko’ra, Ǝb S topiladiki b*a=e. b uchun ham Ǝc S topiladiki, c*b=e.
a=e*a=(c*b)*a=c*(b*a)=c*e va a*b=(c*e)*b=c*(e*b)=c*b=e.
Bundan, a*b=e=b*a, ya’ni b=a-1.Demak (S,*) gruppa.
Teorema 3. (S,*) yarim gruppa bo’lsin.(S,*) gruppa a,b S uchun a*x=b va y*a=b tenglamalar S da yechimga ega.
Teorema 4. (S,*) chekli yarim gruppa bo’lsin. (S,*) gruppa S da qisqartirish qoidasi o’rinli bo’lsa.
Ta’rif. G gruppa, a G bo’lsin. n N uchun an=e bo’lsa, bunday n ning eng kichik qiymati a ning tartibi deyiladi va (a)=n kabi belgilanadi.
Misol. gruppada (1)=1, (-1)=2, (i)= (-i)=4.
Teorema 5. G gruppa , a G va (a)=n bo’lsin. U holda quyidagilar o’rinli.}

1. 
   _{Agar am=e bo’lsa, m n ga karrali bo’ladi.}
   
2. 
   _{t N uchun (at)= bo’ladi.}
   

_{Isbot. i) Qoldiqli bo’lishga ko’ra Ǝ q,r Z topiladiki m=nq+r, 0}≤r

3. 
   _{Aytaylik (at)=k. Bundan akt=e. i) ga ko’ra kt n ga karrali. Bundan Ǝr Z topiladiki kt=nr. EKUB(t,n)=d bo’lsin. Bundan Ǝ u va v butun sonlar topiladiki t=du, n=dv va EKUB(u,v)=1. Bundan kdu=dvr, ya’ni ku=rv. Bundan ku v ga karrali. EKUB(u,v)=1 ekanligida k v ga karrali, ya’ni k n/d ga karrali.Biroq (at)n/d=ant/d=andu/d=anu=(an)u=eu=e. (at)=k ekanligidan n/d k ga karrali. Bundan k=n/d, ya’ni (at)= .}
   

1. 
   _masala.
   

_{to’plamni qaraymiz. a,b G uchun a*b= deb olsak, (G,*) gruppa bo’lishini isbotlang.
2-masala. (S,*) chekli yarim gruppa.U holda S da shunday b element topilib, b2=b*b=b tenglik o’rinli bo’lishini isbotlang.}