Hatolik funksionalni normasining kvadratini hisoblash. Normallangan fazolarda chiziqli funksionallar

HATOLIK FUNKSIONALNI NORMASINING KVADRATINI HISOBLASH. NORMALLANGAN FAZOLARDA CHIZIQLI FUNKSIONALLAR
Funksional analiz matematikaning alohida bo‘limi sifatida XVIII asrning oxiri va XIX asr boshlarida shakllana boshladi. Funksional analizga doir dastlabki ilmiy ishlar italyan matematigi Volterra, fransuz matematigi Puankare va nemis matematigi Gilbertga taalluqlidir. Metrik fazo tushunchasi fanga fransuz matematigi Freshe tomonidan XX asr boshlarida kiritilgan, normalangan fazo tushunchasi 1922 yilda polyak matematigi Banax va unga bog‘liq bo‘lmagan holda amerikalik matematik Viner tomonidan kiritilgan. www.ziyouz.com kutubxonasi Funksional analizning eng muhim, dolzarb yo‘nalishlaridan biri operatorlar algebralari nazariyasi va uning tatbiqlari, Banax algebralari sohasining asosiy qismini tashkil qilib, Respublikamizda keng rivojlantirilmoqda. Toshkent funksional maktabi vakillarining ko‘plab ilmiy tadqiqotlari, oxirgi 20-30 yil davomida ushbu yo‘nalishga aloqador bo‘lib, aytish mumkinki ko‘plab, chuqur va muhim natijalar olindi. Banax algebralari nazariyasi bakalavrlar tayyorlash dasturiga kiritilmagan mavzu bo‘lib, magistrlar uchun esa tanishtiruv, umumiy tushunchalarni berish sifatida ozgina berilgan xolos. Shu sababli ushbu darslikda Banax algebralari bilan yaxshiroq tanishish va tanishtirish, hamda undagi ba’zi yechilmagan masalalarga e’tibor berish nazarda tutilgan. Ma’lumki, Banax algebralarining paydo bo‘lishida operatorlar algebrasi asosiy rol o‘ynagan. Odatda, X chiziqli fazoni Y chiziqli fazoga aks ettiruvchi barcha chiziqli operatorlar to‘plamini L(X,Y) orqali belgilanadi va u chiziqli fazo bo‘ladi. Agar qaralayotgan fazolar normalangan fazolardan iborat bo‘lsa, u holda uzluksiz operatorlar fazosi haqida fikr yuritish mumkin. Ikki uzluksiz operatorning yig‘indisi va uzluksiz operatorning songa ko‘paytmasi uzluksiz operator bo‘lishi chiziqli amallarning uzluksiz ekanligidan bevosita kelib chiqadi. Agar X=Y bo‘lsa, L(X,Y) o‘rniga L(X) yozamiz. L(X) chiziqli fazoda ko‘paytma sifatida operatorlarning kompozitsiyasi, TD S olinadi va L(X) algebraga aylanadi. Bu algebrani chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi. Operator algebralarining eng muhimlari C*-algebralar, fon Neyman algebralaridir. Ulardan yanada kengroq tushunchalar yordamida aniqlanadigan, o‘z–o‘ziga qo‘shma operatorlar fazosi va Yordan Banax algebralari (JB-algebralar) hozirgi zamon kvant mexanikasi masalalarining matematik modelini yaratishda, ularga matematik talqin berishda asosiy vazifalarni bajarishi asoslangan (Bu sohadagi batafsil ma’lumotlarni [6], [8], [10] adabiyotlardan olishingiz mumkin). www.ziyouz.com kutubxonasi Bu yo‘nalishdagi rivojlanish yarim maydonlar nazariyasi [11] yaratilganidan so‘ng kuchayib ketdi. Kvant mexanikasida fizik sistemaning tasodifiy miqdorlarini biror N, Gilbert fazosida aniqlangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator yordamida tasvirlash mumkinligi operatorlar algebrasiga bo‘lgan e’tiborni kuchaytirib yubordi [12]. Ma’lum bir aksiomalar sistemasini qanoatlantiruvchi, haqiqiy algebra – yordan algebralari yuqoridagi mulohazalar asosida paydo bo‘ldi. Bu algebralar asosan algebraistlar tomonidan o‘rganilgan bo‘lsa, keyinchalik ularga boshqacha yondashuv, ya’ni algebralarda norma, tartib tushunchalarini kiritib Banax algebralari tadqiq qilina boshlandi. O‘zbekistonda funksional analizning rivojlanishi, uning g‘oyalarini keng targ‘ib qilgan va funksional analiz bo‘yicha o‘z maktabiga ega bo‘lgan akademik T.A.Sarimsoqov nomi bilan bog‘liq.
1-ta’rif. Agar biror X to‘plamning o‘zini o‘ziga to‘g‘ri (Dekart) ko‘paytmasi X×X ni R +=[0; +∞) ga aks ettiruvchi ρ(x,y) funksiya berilgan bo‘lib, u 1) ρ(x,y) ≥ 0; ρ(x,y)=0 munosabat faqat x=y bo‘lganda bajariladi; 2) ρ(x,y)= ρ(y,x) (simmetriklik aksiomasi); 3) ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ ρ(z,y) (uchburchak aksiomasi) shartlarni qanoatlantirsa, u holda X to‘plam metrik fazo deyiladi. Kiritilgan ρ(x,y) funksiya metrika, yuqoridagi shartlar esa metrika aksiomalari deyiladi. Odatda metrik fazo (X,ρ) ko‘rinishda belgilanadi. 1.2. Metrik fazoga misollar. 1) Haqiqiy sonlar to‘g‘ri chizig‘i: X=R . Bu to‘plamda x va y sonlar orasidagi masofa ρ(x,y)=|y-x| bo‘yicha hisoblanadi. 2) n–o‘lchamli Evklid fazosi: X= n R , va undagi x=(x ,x ,…,x ), y=(y ,y ,…,y ) nuqtalar orasidagi masofa ρ(x,y)= 1 2 n 1 2 n ∑= − n i ii xy 1 2 )( formula yordamida hisoblanadi. Bu metrik fazo orqali belgilanadi. 2 n R Xususan n=2 bo‘lganda bu metrik fazo Evklid tekisligi deyiladi. 3) n–o‘lchamli fazoning x=(x1,x2,…,xn) va y=(y1,y2,…,yn) nuqtalari orasidagi masofa ρ(x,y)= deb aniqlansa, u metrik fazo bo‘ladi va orqali belgilanadi. ∑= n k kk xy 1 |–| 1 n R 4) n–o‘lchamli fazoning x=(x1,x2,…,xn) va y=(y1,y2,…,yn) nuqtalari orasidagi masofa ρ(x,y)= |y 1 ≤≤ nk max k–xk| kabi aniqlansa, u metrik fazo bo‘ladi va n R∞ orqali belgilanadi. 5) X=l2={x=(x1, x2, ..., xn,... ), xi∈R va 2 1 i i x ∞ = ∑ < +∞}, ρ(x,y)= 2 1 ( ) i i i y x ∞ = ∑ − ; www.ziyouz.com kutubxonasi 6) X=C[a;b] − [a;b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to‘plamida metrikani quyidagicha kiritamiz: ρ(x,y)= [;] max | ( ) ( ) | a b yt xt − . Bu funksiyaning metrika bo‘lishini tekshirish qiyin emas. Metrika aksiomalaridan birinchi va ikkinchisining o‘rinliligi ravshan. Uchburchak aksiomasini tekshiramiz. Ixtiyoriy t∈[a;b] nuqta va x(t), y(t), z(t) funksiyalar uchun ushbu munosabat bajariladi: |x(t)- y(t)| = |( x(t)- z(t)) + ( z(t)- y(t))| ≤ | x(t)- z(t)|+| z(t)- y(t)|. Bu tengsizlikdan bta max ≤≤ | x(t)- y(t)|≤ | x(t)- z(t)|+ | z(t)- y(t)| bo‘lishi kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlik bta max ≤≤ bta max ≤≤ ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ρ(z,y) ekanligini bildiradi. 7) C[a;b] da metrikani quyidagicha ham kiritish mumkin: ρ(x,y)= | | . Bu metrik fazo C b a y xd − ∫ t 1[a;b] orqali belgilanadi. 8) [a;b] kesmada kvadrati bilan integrallanuvchi uzluksiz funksiyalar to‘plamida ρ(x,y)= 1 2 2 (( ) ) b a y x dt − ∫ funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi [2]. Bu metrik fazo C2[a;b] orqali belgilanadi. Bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy to‘plamda metrika kiritish mumkinmi degan savolga quyidagi misol ijobiy javob beradi. 9) X- bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin. x, y∈X uchun ρ(x,y)= 1, agar bo'lsa, 0,agar bo'lsa х у х у ⎧ ≠ ⎨ ⎩ = shart bilan funksiya aniqlaymiz. Bu funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi. Bunday aniqlangan metrik fazo trivial metrik fazo, metrika esa, trivial metrika deyiladi.
1. Tekislikdagi A(x1,y1) va B(x2,y2) nuqtalar uchun ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1| kabi aniqlangan funksiya metrika bo‘ladimi? 2. To‘g‘ri chiziqda quyidagi a) ρ(x,y)=x3 –y 3 ; b) ρ(x,y)=|x3 –y 3 |; c) ρ(x,y)=|arctgx–arctgy| funksiyalarning qaysi biri metrika bo‘ladi? 3. Agar M={a,b,c} to‘plamda ρ(a,c)=ρ(c,a)=ρ(a,b)=ρ(c,b)=2, ρ(b,c)= ρ(b,a)=1 kabi aniqlangan ρ funksiya metrika bo‘ladimi? ρ uchburchak aksiomasini qanoatlantiradimi? 4. Agar M={a,b,c} to‘plamda ρ(a,b)=ρ(b,c)=1 shartni qanoatlantiruvchi ρ metrika berilgan bo‘lsa, u holda ρ(a,c) qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin? 5. Metrika aksiomalari quyidagi 1) ρ(x,y)=0 munosabat faqat x=y bo‘lganda bajariladi; 2) ρ(x,y) ≤ ρ(x,z)+ ρ(y,z) ikkita aksiomaga ekvivalent ekanligini isbotlang. 6. Aylanada r(A,B) - vatar bo‘yicha va ρ(A,B)- yoy bo‘yicha metrika kiritish mumkinligini tekshiring. Bu metrikalarning birini ikkinchisi orqali qanday ifodalash mumkin? 7. Uch o‘lchamli fazoda, koordinatalar boshidan chiquvchi nurlar to‘plami ikki nur orasidagi masofa sifatida, ular tashkil qilgan burchaklardan kichigining radian o‘lchovi olinsa metrik fazo bo‘lishini ko‘rsating. 8. Ko‘phadlar fazosida ρ(P1,P2)=|P1(0)–P2(0)| funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradimi? 9. Aytaylik, (X,ρ)-metrik fazo, biror A to‘plam va f:A→X akslantirish berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy x,y∈A uchun quyidagicha aniqlangan ρ1(x,y)=ρ(f(x),f(y)) www.ziyouz.com kutubxonasi funksiyani qaraymiz. Bunday aniqlangan funksiya A to‘plamda metrika bo‘lishi uchun f akslantirishning in’ektiv bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. 10. Butun sonlar to‘plamida quyidagicha ρ(a,b)= 0, agar bo'lsa, 1 , agar bo'lsa 3k a b a b ⎧ = ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎩ kabi aniqlangan funksiya metrika bo‘lishini isbotlang, bu yerda k soni a–b ayirma qoldiqsiz bo‘linadigan 3 ning eng katta darajasi. ρ(5,7), ρ(7,–2), ρ(7,25) larni hisoblang. 11. Natural sonlar to‘plamida a) ρ(x,y)= |–| x y xy ; b) ρ(a,b)= 0, agar bo'lsa, 1 1 , agar bo' x y x y x y lsa ⎧ = ⎪ ⎨ + ≠ ⎪ ⎩ + funksiyalar metrika bo‘ladimi? 12. Agar X to‘plamda ρ metrika bo‘lsa, u holda ρ1(x,y)= ),(1 ),( yx yx ρ ρ + funksiya ham X to‘plamda metrika bo‘lishini isbotlang. 13. Aytaylik f funksiya [0;∞) da aniqlangan va 1) f(0)=0; 2) [0;∞) da o‘suvchi; 3) ixtiyoriy x,y∈[0;∞) uchun f(x+y)≤f(x)+f(y) shartlarni qanoatlantirsin. Agar ρ metrika bo‘lsa, u holda ρ1(x,y)=f(ρ(x,y)) ham metrika bo‘lishini isbotlang. 14. Aytaylik f funksiya [0;∞) da aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, 1) f(0)=0; 2) [0;∞) da o‘suvchi; 3) (0;∞) oraliqda ikkinchi tartibli hosilasi mavjud va f’’(x) Aytaylik (X,ρ) metrik fazo bo‘lsin. Kelgusida, metrik fazo elementi va metrik fazo nuqtasi tushunchalari bir xil ma’noda ishlatiladi. 1-ta’rif. Biror x0∈X nuqta va r>0 son uchun ushbu S(x0,r)={ x∈ X: ρ(x ,x0) 0 bo‘lsa, u holda ρ(a,a)=0 < ε bo‘lishi ravshan. Demak, a∈Oε(a). 2o . Huqtaning ixtiyoriy ikki atrofi kesishmasi ham atrof bo‘ladi. Haqiqatan, agar ε10 bo‘ladi. Endi, y∈Oδ(x) olamiz. Metrikaning uchburchak aksiomasiga ko‘ra ρ(a,y)≤ρ(a,x)+ρ(x,y) 6-ta’rif. M to‘plamning urinish nuqtalari to‘plami М bilan belgilanib, M ning yopilmasi deyiladi. Misol. ( 2 R ,ρ) metrik fazoda S(x ,r) ochiq sharga tegishli ratsional koordinatali nuqtalar to‘plamining yopilmasi 0 _ S ),( 0 х r yopiq shardan iborat bo‘ladi. Teorema. Ixtiyoriy M, M1 va M2 to‘plamlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinlidir: 1) М ⊂ М ; 2) М = М ; www.ziyouz.com kutubxonasi 3) Agar М1 ⊂ М2 bo‘lsa, u holda M1 ⊂ M2 bo‘ladi; 4) М1 21 2 ∪ =∪ МММ . Isboti. Birinchi xossa to‘plamning urinish nuqtasi ta’rifidan kelib chiqadi. Ikkinchi xossani isbotlaymiz. Birinchi xossaga asosan М ⊂ М . Shuning uchun M ⊂ M munosabatni isbotlash yetarli. x∈ М bo‘lsin. U holda bu nuqtaning ixtiyoriy ε atrofida М ga tegishli x1 nuqta topiladi; so‘ng x1 nuqtaning radiusi ε1=ε-ρ(x,x1)>0 bo‘lgan atrofini olamiz. Agar z∈ )( bo‘lsa, u holda 1 1ε xO ρ(z,x)≤ ρ(z,x1)+ ρ(x1,x) 1. Biror metrik fazoda ikkita har xil radiusli ochiq sharlar ustma-ust tushishi mumkinmi? 2. Biror metrik fazoda radiusi 3 ga teng bo‘lgan shar radiusi 2 ga teng bo‘lgan sharning xos qismi bo‘lishi mumkinmi? 3. Biror metrik fazoda r>0 radiusli shar bo‘sh to‘plam bo‘lishi mumkinmi? 4. Tekislikdagi kabi, agar c nuqta a va b nuqtalardan farqli va ρ(a,b)=ρ(a,c)+ρ(c,b) bo‘lsa, u holda c nuqta a va b nuqtalar orasida yotadi deb aytamiz. a) Agar c nuqta a va b nuqtalar orasida, d nuqta esa a va c nuqtalar orasida yotsa, u holda d nuqta a va b nuqtalar orasida yotishini isbotlang. b) Agar c nuqta a va b nuqtalar orasida yotsa, u holda a nuqta c va b nuqtalar orasida yotmasligini isbotlang. c) Agar c nuqta a va b nuqtalar orasida, d nuqta esa a va c nuqtalar orasida yotsa, u holda c nuqta d va b nuqtalar orasida yotishini isbotlang. d) Metrik fazoning nuqtalari orasida, har doim shu fazoning kamida bitta nuqtasi yotadimi? 5. X metrik fazoda [a,b] kesma deb shu fazoning a, b va bu nuqtalar orasida yotadigan barcha nuqtalardan tashkil topgan to‘plamga aytiladi. 1–§ dagi 2 b), c); 7; 10; 11 misollarda va trivial metrik fazoda kesmalar qanday bo‘ladi? Bu kesmalar chegaralanganmi? 6. Agar {a,b}≠{c,d} bo‘lsa, u holda [a,b]≠[c,d] ekanligini isbotlang. 7. Aytaylik c nuqta a va b nuqtalar orasida yotsin. Har doim [a,b]=[a,c]∪[c,d] munosabat o‘rinlimi? 8. tekislikda har qanday to‘g‘ri to‘rtburchakning chegaralangan to‘plam ekanligini ko‘rsating. 9. Metrik fazoda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralangan to‘plam ekanligini isbotlang. 10. To‘g‘ri chiziqdagi xn=(–1)n +1 /n (n∈ ) nuqtalar to‘plamining urinish va limit nuqtalarini toping. N 11. E to‘plam tekislikdagi ratsional koordinatali nuqtalar to‘plami bo‘lsa, uning yopilmasini toping. 2 R2 12. tekislikda faqat ikkita: A(1,3), B(3,0) limit nuqtaga ega bo‘lgan E to‘plamgi misol keltiring. X,ρ) metrik fazo bo‘lsin. Bunda M⊂X to‘plam olamiz. 1-ta’rif. Agar М = М bo‘lsa, u holda M yopiq to‘plam deyiladi. Ixtiyoriy (X,ρ) metrik fazoda _ S 0 ( ,) х r yopiq shar, X ning o‘zi, bo‘sh to‘plam va har bir chekli to‘plam yopiq to‘plamlarga misol bo‘ladi. Shuningdek ( ,ρ), ρ(a,b)=|b-a| to‘g‘ri chiziqda ixtiyoriy [c,d] kesma yopiq to‘plamdir. R 1-teorema. a) Chekli sondagi yopiq to‘plamlarning birlashmasi yana yopiq to‘plam bo‘ladi; b) Ixtiyoriy sondagi yopiq to‘plamlarning kesishmasi yopiq to‘plam bo‘ladi. Isboti. a) bu xossani ikki to‘plam uchun isbotlash yetarli. Aytaylik F1 F2 yopiq to‘plamlar bo‘lsin, ya’ni va o‘rinli. U holda 2-§ dagi teoremaning 4) xossaga ko‘ra . Demak, ta’rifga ko‘ra F FF 11 _ = FF 22 _ = FFFFFF 212121 _________ ____ ∪=∪=∪ 1∪F2 yopiq to‘plam. b) Aytaylik ixtiyoriy sondagi {Fα}α∈A yopiq to‘plamlar sistemasi berilgan va x ularning kesishmasi F= α ∩Fα to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lsin. U holda x ning ixtiyoriy atrofida F ning kamida bitta, masalan, x1 elementi mavjud va kesishmaning xossasiga ko‘ra α ning barcha qiymatlari uchun x1∈Fα bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy α uchun x∈ =F __ Fα α, ya’ni x∈∩Fα=F bo‘ladi. Demak, F yopiq to‘plam. Teorema isbot bo‘ldi.