I-bob birinchi tartibli differensial tenglamalar 1-Ma’ruza mashg’ulot

Izoklinalar usuli.

Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo’lsin.

(5)

Differensial tenglamaning integral chiziqlarini chizish uchun quyidagi ishlarni bajarish kerak.

1. Agar berilgan differensial tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan bo’lsa, dastavval uni hosilaga nisbatan yechib olamiz.

2. Integral chiziqlarning chapdan ungga tomon harakat etganda, uning yunalishini aniqlaymiz;

sharti bajarilgan sohada integral chiziqlar Yuqoriga qarab yunaladi.

sharti bajariladigan sohada integral chiziqlar pastga qarab yo’naladi.

3. Differensial tenglamaning izoklinarlar oilasi tenglamasini tuzamiz.

)

Bunda  -parametr.

Bu izoklinalar ichida eng ahamiyatlisi  qiymatdagi izoklinadir. bo’lganda berilgan differensial tenglama

ko’rinishni oladi.

Bu integral chiziqlarning maksimum va minimum yotadigin nuqtalarining geometrik o’rni bo’lib, bunda

sharti bajariladigan sohada integral chiziqlarining minimum nuqtalari yotadi.

sharti bajariladigan sohada integral chiziqlarning maksimum nuqtalari yotadi.

bo’lsa, izoklinani hosil qilamiz.

Integral chiziqlar, bu izoklina bilan kesishgan nuqtalarida burchak koeffisiyenti –1 ga teng bo’lgan urinmalarga ega bo’ladi. Ya’ni ular o’zaro 135⁰ burchak ostida kesishadi bo’lganda izoklina tenglamasiga ega bo’lamiz.

Integral chiziqlari bu izoklina chizig’i bilan burchak koeffisiyenti ya’ni 45⁰ burchak ostida kesishadi. Integral chiziqlarni yanada aniqroq chizish uchun bukilish nuqtalarining geometrik o’rnini topamiz.

Ma’lumki bukilish nuqtalarining geometrik o’rni, ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirish yo’li bilan aniqlanadi.

(5) tenglamaga asosan  ni topamiz:

 =

Bundan

(8)

(8) tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq bukulish nuqtalarining geometrik o’rnini aniqlaydi.

Bunda y’’=f^’’_x + f f^’’_y>0

shartini qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari botiq bo’lib,

shartni kanotlantiruvchi sohada integral chiziqlari qavariq bo’ladi.

Yuqorida keltirilgan ma’lumotlarga asoslanib, berilgan differensial tenglamaning integral chiziqlarini chizish mumkin.

Misol . tenglamaning integral chiziqlarini, izoklina yordamida chizing.

Yechish. Integral chiziqlarining harakat yo’nalishlarini aniqlaymiz:

Agar bo’lsa, y<2x bo’ladi.

Bu shartni qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlar Yuqoriga qarab yunaladilar.

Agar bo’lsa, y>2x bo’ladi.

Bu sohada integral chiziqlar pastga qarab yo’naladilar.

Izoklinalar oilasining tenglamasini tuzamiz:

bundan y=2x-k.

k=0 bo’lsin. U holda

y=2x ga ega bo’lamiz.

Bundan y=2x.

y=2x to’g’richizig’ida integral chiziqlarning minimum nuqtalari yotadi.

Integral chiziqlar maksimum nuqtaga ega emas. Chunki  va ning ko’rilayotgan sohadagi hamma qiymatlari uchun

 bo’lsin. U holda y=2x-1 ga ega bo’lamiz. Integral chiziqlar bu tug’ri chiziq bilan 45⁰ burchak ostida kesishadilar.

 bo’lsin. U holda y=2x+1 ga ega bo’lamiz. Integral chiziqlar bu to’g’ri chiziq bilan 135⁰ burchak ostida kesishadi.

 bo’lsin. U holda y=2x-2 ga ega bo’lamiz. Bu berilgan tenglamani yechimi bo’ladi.

Haqiqatan ham

y'=2 ,

tenglamaning integral chiziqlari bu integral chiziq bilan kesishmaydi.

Endi bukilish nuqtalarining geometrik o’rnini aniqlaymiz.

Buning uchun berilgan tenglamadan

y''=2-y'=2-2x+y=0

bundan

y=2x-2

Bu bukilish nuqtalarining geometrik o’rni.

y>2x-2 shartni qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari botiq,

y<2x-2

shartni qanoatlantiruvchi sohada integral chiziqlari qavariq bo’ladi.

Bu ma’lumotlarga ko’ra, integral chiziqlarni chizish mumkin.