İki dəyşənli funksiyanın difrensiallanan olması üçün zəruri və kafi şərtlər. Tam difrensial və tam törəmə

İki dəyşənli funksiyanın difrensiallanan olması üçün
zəruri və kafi şərtlər. Tam difrensial və tam törəmə.
İki dəyişənli funksiyanı nəzərdən keçirək z=f(x, y) və nöqtədə onun ümumi artımı M 0 (x 0 , y 0)
Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).
Tərif. Rəqəmlər varsa P və Q belə ki, ümumi artım kimi təmsil oluna bilər
Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,
harada və ε→ 0 saat Δρ→ 0 , sonra ifadə PΔx + QΔy funksiyanın tam diferensialı adlanır z=f(x,y) nöqtədə M0 (x0,y0).
Bu halda funksiyanın tam artımı iki hissədən ibarətdir: birinci hissə PΔx + QΔy ilə əlaqədar xəttidir Δx və Δy, ikincisi ilə müqayisədə sonsuz kiçik ali sıradır.
Tam diferensial funksiyaları z=f(x,y) ilə işarələnir dz, yəni
dz = PΔx+QΔy.
Verilmiş nöqtədə tam diferensialı olan funksiya həmin nöqtədə diferensiallanan adlanır.
teorem. Əgər a u=f(M) bir nöqtədə diferensiallaşa bilər M0, onda davamlıdır.
Şərh. İki dəyişənli funksiyanın davamlılığı onun diferensiallığını nəzərdə tutmur.
Misal. davamlı olaraq (0,0) , lakin qismən törəməsi yoxdur - mövcud deyil. Eynilə, ilə bağlı heç bir qismən törəmə yoxdur y. Buna görə də funksiya diferensiallaşmır.
Teorem [diferensiallaşma üçün zəruri şərt]. Əgər a z=f(x,y) bir nöqtədə diferensiallaşa bilər M0, onda onun qismən törəmələri var x və y, və
f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.
Şərh. Diferensiallıq qismən törəmələrin mövcudluğundan irəli gəlmir. Misal:

bizdə var , lakin funksiya davamlı deyil, ona görə də diferensiallaşmır.
Teorem [diferensiallaşma üçün kifayət şərt]. Əgər funksiyaların birinci qismən törəmələri z=f(x,y) nöqtənin bəzi qonşuluğunda müəyyən edilir M0 (x0,y0) və nöqtədə davamlıdır M0, onda verilmiş funksiya bu nöqtədə tam diferensial malikdir.
Şərh. bizdə var
Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,
harada ε→ 0 saat Δρ→ 0 . Beləliklə,
f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y
f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.
Bu düstur təxmini hesablamalarda istifadə olunur.
Sabit vəziyyətdə Δx və Δyümumi diferensial dəyişənlərin funksiyasıdır x və y:

qoyaq dx=Δx, dy=Δy və bu kəmiyyətləri müstəqil dəyişənlərin diferensialları adlandırın.
Sonra düsturu alırıq

yəni funksiyanın tam diferensialı birinci qismən törəmələrin hasillərinin və arqumentlərin müvafiq diferensiallarının cəminə bərabərdir.
Üç dəyişənli funksiyanın ümumi diferensialı eyni şəkildə müəyyən edilir və ifadə edilir. Əgər a u=f(x, y, z) və rəqəmlər var P, Q, R belə
Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0 saat δρ→ 0 ,
onda tam diferensial ifadədir
du = PΔx+QΔy+RΔz.
Bu funksiyanın birinci qismən törəmələri davamlıdırsa, onda

harada dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.
Tərif. Bəzi funksiyaların ümumi ikinci dərəcəli diferensialı onun tam diferensialının tam diferensialıdır.
Əgər a z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, sonra