Masala
. Ikki to‘plam birlashmasining proobrazi shu to‘plamlar proobrazlarining birlashmasiga teng ekanligini isbotlang: f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B).
Yechimi. Aytaylik, x element f −1 (A∪B) to‘plamiga tegishli bo‘lsin. U holda f(x) ∈ A ∪ B. Bundan f(x) ∈ A yoki f(x) ∈ B munosabatlarning kamida bittasi o‘rinlidir, ya’ni x ∈ f −1 (A) yoki x ∈ f −1 (B). U holda x ∈ f −1 (A) ∪ f −1 (B).
Natijada, f −1 (A ∪ B) ⊂ f −1 (A) ∪ f −1 (B) munosabatning o‘rinli bo‘lishi ko‘rinadi. Aksincha, x ∈ f −1 (A) ∪ f −1 (B) ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda x ∈ f −1 (A) yoki x ∈ f −1 (B) munosabatlarning kamida bittasi o‘rinlidir, ya’ni f(x) ∈ A yoki f(x) ∈ B. Natijada f(x) ∈ A ∪ B. U holda x ∈ f −1 (A∪B). Shuning uchun f −1 (A∪B) ⊃ f −1 (A)∪f −1 (B). Natijada berilgan tenglikning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
