Ikki va uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi

Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi.

Endi ushbu uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini qaraymiz.
𝑎₁₁𝑥 + 𝑎₁₂𝑦 + 𝑎₁₃z=𝑏₁

_{ 𝑎₂₁𝑥 + 𝑎₂₂𝑦 + 𝑎₂₃z=𝑏₂
𝑎₃₁𝑥 + 𝑎₃₂𝑦 + 𝑎₃₃z=𝑏₃
(8)

Ushbu belgilashlarni kiritamiz.

∆=

∆_𝑦=

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33


^𝑎11 ^𝑏1 ^𝑎13
^𝑎21 ^𝑏2 ^𝑎23
^𝑎31 ^𝑏3 ^𝑎33

, ∆_𝑥=

, ∆_𝑧=
^𝑏1 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑏2 ^𝑎22 ^𝑎23 ^,
𝑏3 ^𝑎32 ^𝑎33


^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑏1
^𝑎21 ^𝑎22 ^𝑏2 ^.
𝑎31 ^𝑎32 ^𝑏3

8. 
   sistema koeffitsientlaridan tuzilgan ∆ determinantni sistema determinant deb ataymiz. ∆_𝑥, ∆_𝑦, ∆_𝑧 determinantlar
   

∆ determinantdan unda mos ravishda birinchi, ikkinchi yoki uchinchi ustunni 𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃ ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi. ∆≠ 0 bo’lsa, (8) sistema yechimi ushbu formula yordamida hisoblanadi.

𝑥 = ^∆𝑥
∆
, 𝑦 = ^∆𝑦
∆
, 𝑧 = ^∆𝑧
∆
(9)

8. 
   Formula uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasi uchun
   

Kramer qoidasi deyiladi.

4. 
   misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:
   

𝑥 + 2𝑦 + z=8

_{ 3𝑥 + 2𝑦 + z=10 4𝑥 + 3𝑦−2z=4

∆ , ∆_𝑥, ∆_𝑦, ∆_𝑧 determinantlarni hisoblaymiz:

1 2 1
^∆= 3 2 1
4 3 −2
= 14, ∆_𝑥=
8 2 1
10 2 1
4 3 −2

= 14,

	1	8	1		1	2	8
∆𝑦=	3 4	10 4	1 −2	= 28, ∆𝑧=	3 4	2 3	10 4	= 42.

Kramer qoidasidan foydalanib, 𝑥, 𝑦, 𝑧 larni topamiz.

𝑥 = ^∆𝑥
∆
₌ 14
14
= 1, 𝑦 = ^∆𝑦
∆
₌ 28
14
= 2, 𝑧 = ^∆𝑧
∆
= ⁴² = 3
14

(8) tenglamalar sistemasiga qaytib, ozod hadlar nolga teng deb hisoblaymiz. Ushbu bir jinsli sistemani qaraymiz:

𝑎₁₁𝑥 + 𝑎₁₂𝑦 + 𝑎₁₃z=0

_{ 𝑎₂₁𝑥 + 𝑎₂₂𝑦 + 𝑎₂₃z=0
𝑎₃₁𝑥 + 𝑎₃₂𝑦 + 𝑎₃₃z=0
(10)

Determinantlar ∆_𝑥= ∆_𝑦= ∆_𝑧= 0, chunki ular nollardan iborat ustunga ega. Shu sababli bir jinsli sistema ∆≠ 0 bo’lganda birgina nol yechim 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 ga ega yoki ∆= 0 bo’lganda cheksiz ko’p yechimlarga ega.