Ikki va uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi
Yüklə 89,68 Kb. Pdf görüntüsü
|
1 2
|
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer va Gauss ussullari yordamida yechish. Reja: 1. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi. 2. Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi. 3. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi. 4. Gauss usuli 1 . Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining 𝑎 11 𝑥 + 𝑎 12 𝑦 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 + 𝑎 22 𝑦 = 𝑏 2 (1) yechimini topish uchun determinantlar nazariyasidan foydalanamiz. Bu yerda 𝑥 va 𝑦 noma’lum sonlar, qolgan barcha sonlar esa ma’lum. Noma’lumlar oldidagi ko’paytuvchilar sistema koeffitsientlari, 𝑏 1 va 𝑏 2 sonlar esa ozod hadlar deb ataladi. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish, 𝑥 va 𝑦 sonlarning shunday to’plamiki, ularni sistema tenglamalarining o’rniga qo’yilganda ular ayniyatga aylanadi. Bunday sonlar to’plamini sistemaning yechimi deb ataymiz. Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikdagi sistema deyiladi. Bitta yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniq sistema deyiladi. Cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas sistema deyiladi. Bitta ham yechimga ega bo’lmagan sistema birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi. Sistema koeffitsientlaridan quyidagi ikkinchi tartibli determinantni tuzib, uni ∆ bilan belgilaymiz va sistema determinant deb ataymiz: ∆= 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 So’ngra bu determinantda mos ravishda birinchi va ikkinchi ustunlarni ozod hadlar bilan almashtirib, ∆ 𝑥 , ∆ 𝑦 bilan belgilanadigan ushbu determinantni tuzamiz: ∆ 𝑥 = 𝑏 1 𝑎 12 𝑏 2 𝑎 22 , ∆ 𝑦 = 𝑎 11 𝑏 1 𝑎 21 𝑏 2 Agar ∆≠ 0 bo’lsa, (1) sistemaning yechimi 𝑥 = ∆ 𝑥 ∆ , 𝑦 = ∆ 𝑦 ∆ (2) formula yordamida topiladi. Isbot. (1) Sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini (𝑎 22 ) ga, ikkinchisini esa (−𝑎 12 ) ga ko’paytirib va so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz: (𝑎 11 𝑎 22 − 𝑎 21 𝑎 12 )𝑥 = 𝑏 1 𝑎 22 − 𝑏 2 𝑎 12 (3) Shunga o’xshash, (1) sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini (−𝑎 21 ) ga, ikkinchisini esa (𝑎 11 ) ga ko’paytirib, so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz: (𝑎 11 𝑎 22 − 𝑎 21 𝑎 12 )𝑦 = 𝑎 11 𝑏 2 − 𝑎 21 𝑏 1 (4) (3) va (4) formulalarda turgan ayirmalar biz yuqorida kiritgan ikkinchi tartibli determinantlardir. 𝑎 11 𝑎 22 − 𝑎 21 𝑎 12 = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 = ∆, 𝑏 1 𝑎 22 − 𝑏 2 𝑎 12 = 𝑏 1 𝑎 12 𝑏 2 𝑎 22 = ∆ 𝑥 , 𝑏 1 𝑎 21 − 𝑏 2 𝑎 11 = 𝑎 11 𝑏 1 𝑎 21 𝑏 2 = ∆ 𝑦 Bu belgilashlarda (3) va (4) tenglamalar bunday yoziladi: 𝑥 ∙ ∆ = ∆ 𝑥 𝑦 ∙ ∆ = ∆ 𝑦 (6) Uch hol bo’lishi mumkin. a) Agar sistema determinanti ∆≠ 0 bo’lsa, u holda (6) formulalardan (1) sistema birgalikda 𝑥 = ∆ 𝑥 ∆ , 𝑦 = ∆ 𝑦 ∆ (7) formulalar bilan aniqlanadigan bitta yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. (2) formula isbot bo’ldi. (7) qoidaga Kramer qoidasi deyiladi. b) Agar sistema determinanti ∆= 0, lekin ∆ 𝑥 va ∆ 𝑦 determinantlardan kamida bittasi nolga teng bo’lmasa, u holda (6) formulalardan (1) sistema birgalikda emas, ya’ni bitta ham yechimga ega emasligi kelib chiqadi. c) Agar sistema determinanti ∆= 0 va ∆ 𝑥 = 0 , ∆ 𝑦 = 0 bo’lsa u holda (6) formuladan (1) sistema aniqmas, ya’ni cheksiz ko’p yechimlarga ega ekani kelib chiqadi. Yüklə 89,68 Kb. Dostları ilə paylaş:
|
1 2