1-rasm.
1-rasmda berilgan ABCD egri chiziqli trapetsiya yuzasi (1.1) formula bo’yicha
hisoblangan aniq integral qiymatiga teng. Shuning uchun integralni (1.1) formula bo’yicha
hisoblashning iloji bo’lmasa ABCD trapetsiya yuzasini hisoblashga o’tamiz. Buning uchun (
a,b
)
oraliqni
n=2m
juft bo’laklarga bo’lamiz. Bo’linish nuqtalari
𝑥
𝑖
= 𝑎 + 𝑖ℎ ;
𝑖 = 0,1,2 … , 𝑛 ;
𝑥
𝑛
= 𝑎 + 𝑛 ∙ ℎ = 𝑏 ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
Simpson formulasiga ko’ra
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
ℎ
3
∙ ∑
(𝑓
2𝑖−2
+ 4𝑓
2𝑖−1
+ 𝑓
2𝑖
)
𝑚
𝑖=1
𝑏
𝑎
(1.2)
(1.2) formulani yoyib yozib yuborsak
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
ℎ
3
∙ (𝑓
0
+ 4𝑓
1
+ 2𝑓
2
+ 4𝑓
3
+ 2𝑓
4
+ ⋯ + 4𝑓
2𝑚−1
+ 𝑓
2𝑚
)
𝑏
𝑎
(1.3)
formulani hosil qilamiz. (1.3) formula taqribiy formula bo’lib
uning xatoligi
𝑂(ℎ
4
)
tartibida
bo’lar ekan. Bu degani, (1.3) Simpson formulasi sodda lekin ancha aniq formulalardan ekan.
Amaliyotda bu formula juda keng qo’llaniladi. Uni dasturlash ham oson.
Monte-Karlo usuli esa ehtimolning geometrik va statistik ta’riflarini muvofiqlashtirishdan
kelib chiqqan.
Buning uchun
y=f(x)
funksiyani yuqori chegarasi
|𝑓(𝑥)| < 𝑀, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
topiladi.
Chizma
2-rasm.
2-rasmdagidek xolat o’rinli bo’lsin, ya’ni
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑏)
𝑚𝑎𝑥
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) = 𝑀.
U
xolda
𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐸
= 𝑀 ∙ (𝑏 − 𝑎),
𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
.
Ikkinchi tarafdan ehtimolning geometrik ta’rifiga ko’ra ABCE to’g’ri to’rtburchakka
tavakkaliga tashlanadigan tasodifiy nuqta ABCD egri chiziqli trapetsiyaga tushish ehtimoli
𝑃(𝐴) =
𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐸
=
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐸
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑃(𝐴) ∙ 𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐸
(1.4)
Agar A – tasodifiy hodisa ABCE to’g’ri to’rtburchakka tavakkaliga tashlangan nuqtaning
ABCD egri chiziqli trapetsiyaga tushishi deb qaralsa, bu xodisaning ehtimolini hisoblash uchun
ehtimolning statistik ta’rifidan foydalanamiz. Buning uchun
[𝑎, 𝑏]
oraliqda tekis taqsimlangan
𝑥
𝑖
tasodifiy
miqdorlar va
[𝑜; 𝑀]
oraliqda tekis taqsimlangan
𝑦
𝑖
tasodifiy
miqdorlar ketma-
ketligini tuzamiz. Buning uchun kompyuterda mavjud bo’lgan psevdotasodifiy miqdorlar
generatoridan foydalanish mumkin. Hosil bo’lgan bu ketma-ketlikning
har bir juftligi
(𝑥
𝑖
, 𝑦
𝑖
) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
, ABCE to’g’ri to’rtburchakka taaluqli bo’ladi. Ulardan ABCD
trapetsiyaga taaluqlilarini ajratamiz. Buning uchun
𝑦
𝑖
≤ 𝑓(𝑥
𝑖
)
shart bajarilishi kerak. Bunday
nuqtalar soni
m
ta bo’lsin.
U holda
A –
hodisa ehtimoli uchun
𝑃(𝐴) ≈
𝑚
𝑛
(1.5)
formuladan foydalanish mumkin.
n –
qanchalik katta bo’lsa (1.5) formula shunchalik aniq bo’ladi.
(1.5) formuladan topilgan qiymatni (1.4) formulaga olib borib qo’yilsa
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
𝑚
𝑛
∙ 𝑆
𝐴𝐵𝐶𝐸
=
𝑚
𝑛
∙ 𝑀 ∙ (𝑏 − 𝑎)
(1.6)
formula hosil bo’ladi. Integralni bu usulda hisoblash Monte-Karlo usuli deyiladi.
Misol:
f
(
x
) = 4
sin
(
x
) funksiyani Simpson usulidan foydalanib [0; 3]
oraliqda integrali
hisoblansin.
Dostları ilə paylaş: