Исследование в XXI веке февраль, 2023 г 239 birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning taxminiy yechimi

ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALARGA MISOLLAR 
Funksiyani hosilasi va chegaraviy shartidan qayta qurish. Runge-Kutta-Felberg usuli 
bilan taqqoslash. 
Keling, Runge-Kutta usuli bilan olingan echimlarni (RKF45 quyi tartibi) va yuqorida 
tavsiflanganidek olingan echimlarni taqqoslaylik. 
Formula bo'yicha hisoblangan [𝑎, 𝑏] oraliqda to'rni belgilaymiz 
va *−1, 1] oraliqda tanlangan Gauss-Lobatto panjarasi bilan bog'liq. to'r nuqtalari soni 
𝑁 ga teng ya'ni berilgan hosila va qo'shimcha shartdan funktsiyani bizning usulimiz bilan 
tiklash uchun faqat funktsiyani hisoblash kerak va bu qiymatlarni kengaytirishga qayta 

---

Международный научный журнал № 7 (100), часть 1 
«Новости образования: исследование в XXI веке» февраль, 2023 г
242 
hisoblash kerak.. Chebishev polinomlarida kengayish koeffitsientlariga faqat 2𝑁 boʻlinish va 
2𝑁 qoʻshimcha qiymatlar kerak bo'ladi.
Koshi masalasini Runge-Kutta-Felberg usulida yechish uchun biz yuqorida [𝑎, 𝑏] 
bo‘yicha hisoblangan to‘rning har bir subintervalida RKF45 algoritmini qo‘lladik. 
Eng oddiy masala yechimini izlashda algoritmlar solishtiriladi. 
Runge-Kutta usulida aniqlikni avtomatik nazorat qilish bilan amalga oshirilgan 
hisoblash butun intervalda funktsiya qiymatlarining 800 ga yaqin hisobini talab qildi. 
Noma'lumlarni ajratishning ikki bosqichli usuli uchun hisoblangan qiymatlarning to'r 
nuqtalarida aniq qiymatlardan chetga chiqish natijalari 1- jadvalda keltirilgan. 
Hisoblangan qiymatlarning aniq qiymatlardan chetga chiqishi 
To‘r nuqtalari soni 
11 
13 
15 
30 
Maksimal og`ish 
<4 ⋅ 10
−7
<5 ⋅ 10
−9
<2 ⋅ 10
−13
<10
−19
Koshi muammosini yechishning yana bir nechta namunaviy misollarini ko‘rib chiqing, 
ya'ni berilgan hosilalar va boshlang'ich shartdan funktsiyalarni tiklash. Chebishev 
matritsalari yordamida fizik fazoda differentsiallash matritsalari yordamida hosilalarni 
hisoblashning aniqligidan funksiyalar model sifatida o‘rganildi. Tanlangan misollar 
yaqinlashuv nuqtalari soniga bog'liq holda hosilalarni hisoblashning aniqligini tizimli 
ravishda ko'rsatadi. 
Turli silliqlik bilan tavsiflangan to'rtta funktsiya ko'rib chiqiladi: |𝑥3 |, exp(−𝑥
−2
), 1/(1 + 
𝑥
2
) VA 𝑥 
10
Birinchi funksiya uchinchi hosilaga ega chegaralangan o'zgaruvchanlik, ikkinchi 
funktsiya silliq, ammo analitik emas uchinchisi *−1, 1+ yaqinida analitik, to‘rtinchisi esa 
polinom. Biz tomonidan olingan yechimlarning aniqligi bir xil miqdordagi birikma 
nuqtalaridan foydalanganda Trefethen yechimlaridan 1,5-3 darajaga yaxshiroq[2]. 
1-rasm Taxminan nuqtalar soniga qarab silliqlikni oshiruvchi to'rtta funktsiya uchun 
hosilalarni tiklashning aniqligi 

---

Международный научный журнал № 7 (100), часть 1 
«Новости образования: исследование в XXI веке» февраль, 2023 г
243 
XULOSA 
Differensial tenglamalarni yechishda asosan yechimning mahalliy yaqinlashuviga 
asoslangan usullar mavjud bo’lib, ularda birinchi navbatda dastlabki yaqinlashish (chegara 
shartlari) qo’llaniladi. Bular Eyler, Runge-Kutta usuli va boshqalar kabi usullardir. Global 
funktsiyalardan foydalangan holda yechimni yaqinlashtirishga asoslangan boshqa usullar 
[global kolokatsiya usullari - Meyson, Boyd, Fornberg, Iserles, Townsend] bir vaqtning 
o'zida boshlang'ich (chegaraviy) shartlarni va shartlarni o'z ichiga olgan tenglamalar tizimini 
qurishga asoslangan. Noma'lumlarni ajratishning ikki bosqichli usuli uchun hisoblangan 
qiymatlarning to'r nuqtalarida aniq qiymatlardan chetga chiqish natijalari 1- jadvalda 
keltirilgan.
Raqamli usullarni qo'llash nuqtai nazaridan, ehtimol, eng istiqbolli bu Yakobi 
polinomlarining ma'lum bir holatini - Chebyshev ko'phadlarini o'ziga xos asos funktsiyalari 
sifatida ishlatishdir. Chebishev polinomlari ODE yechimining deyarli optimal yaqinlashuvini, 
diskret ortogonallik shartidan foydalanish uchun Gauss-Lobatto panjarasini hisoblash 
qulayligini va izlanayotgan yechimlarning differentsiallash va integratsiya matritsalarini 
qurish qulayligini aniqlovchi uch muddatli munosabatlarni ta'minlaydi. Dastlabki 
(chegaraviy) shartlar dastlabki masalani echishning ikkinchi bosqichida ko'rib chiqiladi, bu 
aslida bitta noma'lum koeffitsientli chiziqli tenglamani yechishga qisqartiriladi. Birinchi 
muammoning echimi Gauss-Lobatto to'ridagi Chebishev funktsiyalari qiymatlari 
matritsasini aniqlash uchun dastlabki differentsial tenglamaning o'ng tomonini 
aniqlaydigan funktsiya qiymatlari vektoriga ko'paytirishga keltiriladi. Keyinchalik, ikki 
diagonalli integratsiya matritsasini koeffitsientlar vektoriga ko'paytirish, birinchisidan 
tashqari, istalgan yechimning barcha koeffitsientlarini beradi. Ikkinchi bosqichda dastlabki 
(chegara) shartdan foydalanish eritmaning kengayishining birinchi koeffitsientini aniqlash 
imkonini beradi. Birinchi darajali ODElarni echish muammosini ikkita kichik muammoga 
bo'lishga asoslangan yondashuv juda istiqbolli ko'rinadi.