Issn 2072-0297 Молодой учёный Международный научный журнал Выходит еженедельно №28 (132) / 2016 р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я : Главный редактор
Yüklə 6,54 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Утверждение 2.
- Утверждение 1.
|
Утверждение 1. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − − < < = − то все решения уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − − + − − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a − − φ = − + . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам 1 2 0 2 cos 1 2cos 1 x x x − = = φ − φ − , то решение имеет вид 1 n x С = . Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3 1 a b b c = − < < = . Общее решение уравнения (1) имеет вид 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ . Зададим начальные условия 0 1 2 , , x x x . Тогда, решая систему 0 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 , cos sin , cos2 sin2 x C C x C C C x C C C = + = − + φ + φ = + φ + φ относительно 1 2 3 , , C C C , получаем: 0 1 2 1 2 cos , 2 2cos x x x C − φ + = + φ 0 1 2 2 (1 2cos ) 2 cos , 2 2cos x x x C + φ + φ − = + φ 0 1 2 3 (1 2cos ) 2 (1 cos ) . 2sin x x x C − φ + − φ + = φ В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 3 2 2 ( ) 1 ( 1)( ( 1) 1) ( 1) ( ) P a a a Q λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ + λ . При 1 3 a − < < многочлен ( ) Q λ имеет два комплексно сопряженных корня: 2 1,2 1 1 (1 ) 3 2 2 2 a a a i λ = − ± ⋅ + − ⋅ таких, что 1 arg , φ = λ 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Преобразуем решение 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ , применив метод вспомогательного угла. Получим 2 2 1 2 3 0 ( 1) sin( ) n n x C C C n = − + + ⋅ φ + φ , где 2 2 2 3 0 C C + ≠ . Тогда ( ) 2 2 1 0 0 2 3 ( 1) ( 1) (sin( ( ) ) sin( )) . n k n n k n k n x x x C n k n C C + + + ∆ = − = − − − + φ + + φ − φ + φ + Равенство 0 n k x + ∆ = возможно только при четном k и , 2 k m m Z φ = π ∈ . Получаем следующее Утверждение 2. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − < < = то все решения уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − + + − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенству 0 1 2 x x x = − = , то решение имеет вид 1 ( 1) n n x С = − и является периодическим, с периодом 2. Утверждение 1. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − − < < = − то все решения уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − − + − − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a − − φ = − + . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам 1 2 0 2 cos 1 2cos 1 x x x − = = φ − φ − , то решение имеет вид 1 n x С = . Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3 1 a b b c = − < < = . Общее решение уравнения (1) имеет вид 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ . Зададим начальные условия 0 1 2 , , x x x . Тогда, решая систему 0 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 , cos sin , cos2 sin2 x C C x C C C x C C C = + = − + φ + φ = + φ + φ относительно 1 2 3 , , C C C , получаем: 0 1 2 1 2 cos , 2 2cos x x x C − φ + = + φ 0 1 2 2 (1 2cos ) 2 cos , 2 2cos x x x C + φ + φ − = + φ 0 1 2 3 (1 2cos ) 2 (1 cos ) . 2sin x x x C − φ + − φ + = φ В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 3 2 2 ( ) 1 ( 1)( ( 1) 1) ( 1) ( ) P a a a Q λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ + λ . При 1 3 a − < < многочлен ( ) Q λ имеет два комплексно сопряженных корня: 2 1,2 1 1 (1 ) 3 2 2 2 a a a i λ = − ± ⋅ + − ⋅ таких, что 1 arg , φ = λ 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Преобразуем решение 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ , применив метод вспомогательного угла. Получим 2 2 1 2 3 0 ( 1) sin( ) n n x C C C n = − + + ⋅ φ + φ , где 2 2 2 3 0 C C + ≠ . Тогда ( ) 2 2 1 0 0 2 3 ( 1) ( 1) (sin( ( ) ) sin( )) . n k n n k n k n x x x C n k n C C + + + ∆ = − = − − − + φ + + φ − φ + φ + Равенство 0 n k x + ∆ = возможно только при четном k и , 2 k m m Z φ = π ∈ . Получаем следующее Утверждение 2. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − < < = то все решения уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − + + − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенству 0 1 2 x x x = − = , то решение имеет вид 1 ( 1) n n x С = − и является периодическим, с периодом 2. Утверждение 1. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − − < < = − то все решения уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − − + − − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a − − φ = − + . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам 1 2 0 2 cos 1 2cos 1 x x x − = = φ − φ − , то решение имеет вид 1 n x С = . Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3 1 a b b c = − < < = . Общее решение уравнения (1) имеет вид 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ . Зададим начальные условия 0 1 2 , , x x x . Тогда, решая систему 0 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 , cos sin , cos2 sin2 x C C x C C C x C C C = + = − + φ + φ = + φ + φ относительно 1 2 3 , , C C C , получаем: 0 1 2 1 2 cos , 2 2cos x x x C − φ + = + φ 0 1 2 2 (1 2cos ) 2 cos , 2 2cos x x x C + φ + φ − = + φ 0 1 2 3 (1 2cos ) 2 (1 cos ) . 2sin x x x C − φ + − φ + = φ В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 3 2 2 ( ) 1 ( 1)( ( 1) 1) ( 1) ( ) P a a a Q λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ + λ . При 1 3 a − < < многочлен ( ) Q λ имеет два комплексно сопряженных корня: 2 1,2 1 1 (1 ) 3 2 2 2 a a a i λ = − ± ⋅ + − ⋅ таких, что 1 arg , φ = λ 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Преобразуем решение 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ , применив метод вспомогательного угла. Получим 2 2 1 2 3 0 ( 1) sin( ) n n x C C C n = − + + ⋅ φ + φ , где 2 2 2 3 0 C C + ≠ . Тогда ( ) 2 2 1 0 0 2 3 ( 1) ( 1) (sin( ( ) ) sin( )) . n k n n k n k n x x x C n k n C C + + + ∆ = − = − − − + φ + + φ − φ + φ + Равенство 0 n k x + ∆ = возможно только при четном k и , 2 k m m Z φ = π ∈ . Получаем следующее Утверждение 2. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − < < = то все решения уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − + + − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенству 0 1 2 x x x = − = , то решение имеет вид 1 ( 1) n n x С = − и является периодическим, с периодом 2. “Young Scientist” . #28 (132) . December 2016 3 Mathematics Работа поддержана грантом ЮУрГГПУ и КГПУ им. В. П. Астафьева (проект № 16–1022). Литература: 1. Parhi N., Tripathy A. K. On the behavior of solutions of a class third order difference equations // Journal of Difference Equations and Applications. — 2002. — V. 8, No. 5. — P. 415–426. Утверждение 1. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − − < < = − то все решения уравнения (1) являются периодическими тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − − + − − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a − − φ = − + . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенствам 1 2 0 2 cos 1 2cos 1 x x x − = = φ − φ − , то решение имеет вид 1 n x С = . Случай 2. Коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3 1 a b b c = − < < = . Общее решение уравнения (1) имеет вид 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ . Зададим начальные условия 0 1 2 , , x x x . Тогда, решая систему 0 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 , cos sin , cos2 sin2 x C C x C C C x C C C = + = − + φ + φ = + φ + φ относительно 1 2 3 , , C C C , получаем: 0 1 2 1 2 cos , 2 2cos x x x C − φ + = + φ 0 1 2 2 (1 2cos ) 2 cos , 2 2cos x x x C + φ + φ − = + φ 0 1 2 3 (1 2cos ) 2 (1 cos ) . 2sin x x x C − φ + − φ + = φ В этом случае характеристический многочлен можно представить в виде 3 2 2 ( ) 1 ( 1)( ( 1) 1) ( 1) ( ) P a a a Q λ = λ + λ + λ + = λ + λ + − λ + = λ + λ . При 1 3 a − < < многочлен ( ) Q λ имеет два комплексно сопряженных корня: 2 1,2 1 1 (1 ) 3 2 2 2 a a a i λ = − ± ⋅ + − ⋅ таких, что 1 arg , φ = λ 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Преобразуем решение 1 2 3 ( 1) cos( ) sin( ) n n x С С n С n = − + φ + φ , применив метод вспомогательного угла. Получим 2 2 1 2 3 0 ( 1) sin( ) n n x C C C n = − + + ⋅ φ + φ , где 2 2 2 3 0 C C + ≠ . Тогда ( ) 2 2 1 0 0 2 3 ( 1) ( 1) (sin( ( ) ) sin( )) . n k n n k n k n x x x C n k n C C + + + ∆ = − = − − − + φ + + φ − φ + φ + Равенство 0 n k x + ∆ = возможно только при четном k и , 2 k m m Z φ = π ∈ . Получаем следующее Утверждение 2. Если коэффициенты , , a b c уравнения (1) удовлетворяют системе , 1 3, 1 a b b c = − < < = то все решения уравнения (1) являются периодическими с четным периодом тогда и только тогда, когда 2 Q φ ∈ π , где 2 1 3 2 arg , 2 a a a i − + + − ⋅ φ = 2 3 2 tg 1 a a a + − φ = − . Замечание. Если 2 2 2 3 0 C C + = , т. е. начальные условия удовлетворяют равенству 0 1 2 x x x = − = , то решение имеет вид 1 ( 1) n n x С = − и является периодическим, с периодом 2. Yüklə 6,54 Mb. Dostları ilə paylaş:
|