Joba: Lobachevskiy haqqında
Yüklə 50,76 Kb.
|
|
Lobachevskiy tegisliginde Puankare tárepinen berilgen interpritaciya Joba:
Lobachevskiy haqqında Lobachevskiy tegisliginde Puankare tárepinen berilgen interpritaciya Puankare modeli ushun Paydalanǵan ádebiyatlar 1826 jıl Qazan mámleket universiteti professorı N. I. Lobachevskiy tárepinen noyeyklid geometriyaga tiykar solindi. Bul jerde dáslepki to'tta hákisiomani óz ornında qaldırıp (bul tórt hákisioma orınlı bolǵan geometriya absolyut geometriya dep júritiledi) besinshi parallellik hákisiomasini almastırıw menen jańa geometriya payda etindi. Yevklidıń besinshi postulotidıń ingliz pedagogı Pleyfer tárepinen jaratılǵan ekvivalanti: Tegislikte to'gri sızıqtan sırtdaǵı noqattan ol menen kesilispeytuǵın yogona tuwrı sızıq ótedi. Bul postulotni lobachevskiy tómendegi menen almastırdı : Tegislikte to'gri sızıqtan sırtdaǵı noqattan ol menen kesilispeytuǵın keminde eki tuwrı sızıq ótedi. Lobachevskiyning derlik barlıq zamanlasları onıń jaratqan geometriyasi qátelikkka iye dep esaplawar edi. Olar bul geometriyani biz jasap turǵan keńislik qollap bolmawi menen birge, bul geometriya qashanlar bolıp tabıladı ishki qarama-qarsılıqqa ushraydı dep esaplawar edi. Noyevklid geometriya tárepdarları ushın bul geometriyani zidsiz ekenin tiykarlash, basqalardı buǵan úyretiw ushın qandayda bir usıl yamasa yevklid geometriyasi sheńberinde bul geometriyani túsintira biletuǵın onıń modellerin jaratıw zárúrshiligi bar edi. Bunday modellerden biri Keli-Kleyn modeli bolıp esaplanadı. Bul model sheńber jáne onıń aqırları esapqa alınbaǵan vatarlari járdeminde tusintiriledi. Ekinshi model fransuz matematigi Puankare tárepinen Lobachevskiy geometriyasi ushın usınıs etilgen model bolıp tabıladı. Bul model sheńber jáne onıń ishki noqatları Lobachevskiy tegisligi dep alınıp, Lobachevskiy tegisligidegi noqat sheńber ishindegi noqatqa, tuwrı sızıq bolsa bul sheńberge orthogonal sheńberdiń sheńber ishindegi yoyi túsiniledi. Bul eki model de Lobachevskiy geometriyasi dıń keyingi rawajlanıwǵa úlken xızmet etken modeller bolıp tabıladı. Referat teması áne sonday zárúrli máseleni úyreniwdi óz aldına maqset etip qoyǵan. Alınǵan maqsetke kóre referat kirisiw, eki paragraf hám juwmaq formasında orınlaw joybarlawtirildi. Birinshi paragrafda noyevklid geometriyalar haqqında ulıwma maǵlıwmat berildi. Bul jerde noyevklid geometriyalarni tiykarlash jáne onı barlıq ushın túsinikli tilde bayanlaw maqsetinde modelleri jaratılıwı zárúrshiligi bar ekenligi hám olardıń bul geometrlerdi úyreniw degi áhmiyeti haqqında sóz yuritildi. Ekinshi paragraf Lobachevskiy geometriyasining Puankare modelin anıqlama beriwge baǵıshlandi. Bul model ushın zárúr bolǵan ortogonal sheńberler hám olardı soǵıw, inversiya hám inversion almastırıwlar sıyaqlı túsinikler aytildi. Sonnan keyin “Puankarening tilsimli dúnyası” dep atalıwshı modeli kirgizildi. Bul model járdeminde sheksiz uzaqlıqtaǵı noqat túsinigi óz hákisin taptı. Geometriyani aksomatik qurılısı sistemalı túrde eramızdan aldınǵı III asirde Yevklidning “Negizler” shıǵarması arqalı kiritilga edi. Yevklidning paralleller haqqındaǵı ataqlı postulotini teorema retinde qabıl etip tastıyıqlawǵa bolǵan orınıwlar, postulotga teris gápti qabıl etip odan juwmaq shıǵarıwǵa bolǵan háreketler noyevklid geometriyalarni jaratılıwına alıp keldi. Noyevklid geometriya tárepdarlarına bul geometriyaning zidsizligi hám real keńislikgi anıq nátiyjeni ámelde qollanıwın kórsetiw mashqalası turar edi. Biz jasap turǵan keńislikti Yevklid geometriyasi tolıq ańlatpalap beredi. Noyevklid geometriyalar qanday keńislikti bildiredi? Nemis matematigi K. F. Gauss geometriya dıń matematikanı basqa tarawlarınan (mexanika sıyaqlı eksprimental pánlerden) ajıratıw tárepdarı edi. Bul jerde Gauss hám ol sıyaqlı Lobachevskiy hám Boyyailarga birinshiden, “qıyalıy geometriyani” fizikalıq reallıqtan holi túrde logikalıq qurıw múmkinligi, ekinshiden astranomik masshtablarda bul dáwirde Yevklid geometriyasining artiqmashliǵin alıp taslawdı usınıw paydasızligi málim edi. Eramızdan aldınǵı ekinshi asrgacha Evklidning on úsh úsheklik “Negizler” shıǵarması tiykarında geometriyaning hákisiomatik qurılısı óz aqırma jetken edi. Ámeliy ehtijojlar nátiyjesinde payda etinan múyeshni, uzınlıq hám yuzani ólshew izbe-iz matematikalıq teoriyaler hákisioma, postulot, teorema, tariyp hám tastıyıqlar járdeminde óz tastıyıǵın taptı. Geometriyaning tiykarǵı elementleri noqat, tuwrı sızıq hám tegislik túsinikleri júzege shıqtı. Sol dáwirdegi insan ámeliy mútajlikleri ushın paydalaniletuǵın túsinikler abstract túsin tapqan edi. Bul jerde sheksiz uzaqlıqtaǵı tuwrı sızıq qanday ańlatpaǵa iye boladı degen soraw joq edi. Bálkim sol sebepli parallellik haqqındaǵı v postulot Evklid tárepinen júdá ıqtıyatlıq menen aytılǵan bolıp tabıladı: eger tuwrı sızıq eki tuwrı sızıqtı kesip o'tsa, bul tuwrı sızıqlar ishki bir tárepli múyeshleri jıyındısı eki tuwrı múyesh jıyındısınan kishi bolǵan tárepte kesiwedi. Áyyemgiler yerni kútá úlken ólshem degi (ólshewdiń hesh ılajı bolmaǵan ) tegis disk retinde oyda sawlelendiriwgen. Geografiyalıq ashılıwlar nátiyjesinde bul shegara aralıqlar jáne de uzoqlashdi. Dógerek átirap daǵı bolmıs haqqındaǵı bilimlerdiń asıp barıwı menen geometriya da taraqqiy eta basladı. XvIII asirde ingliz pedagogı Pleyfer kitabında v postulotning zamanagóy forması aytildi: tuwrı sızıqtan sırtdaǵı noqattan ol menen bir tegislikte yotuvchi hám kesilispeytuǵın tek bir tuwrı sızıq ótkeriw múmkin. XIX ásirdiń jigirmalanshı jıllarında Lobachevskiy geometriyasi dunyuga keldi. Bul jerde Evklidning v postulotidan basqa barch postulotlari saqlanǵan halda v postulotga tómendegishe ózgertiw kirgizdi: tuwrı sızıqtan sırtdaǵı noqattan ol menen bir tegislikte yotuvchi hám kesilispeytuǵın keminde eki tuwrı sızıq ótkeriw múmkin. N. I. Lobachevskiy 1792 jıl 2 dekabrde Nijniy Novgorod (házirgi Gorkiy shaxrida) to'g'ilgan. Ol Qazan universiteti qasındaǵı gimnaziyani, odan keyin Qazan universitetin bitirib, bulmanda oqıtıwshı bolıp jumısqa qaldırilgan. Ol 1816 jılda professor, 1827 jıldan 1846 jılǵa shekem sol universitettiń rektori bolıp islegen. N. I. Lobachevskiy 1856 jıl 24 fevralda opat etken. N. I. Lobachevskiy sol universitette islegenden baslap v postulatni tastıyıqlawǵa qattı háreket etken. Ol áskeriy xızmette bir sapta bolǵanlarlarınıń urınısları nátiyjeisizligi, v postulatni tastıyıqlaw ushın aldınǵı postulatlardan paydalanıw jetkilikli emes degen juwmaqqa kelgen. Bunı tastıyıqlaw ushın Yevklidning tiykarǵı baǵdarların saqlaǵan halda, v postulatni biykarlaw etip, onı terissine almastırıp, logikalıq sistemanı qurdi. Bul logikalıq sxema jańa geometriyani, Yevklid geometriyasi sıyaqlı muvofaqqiyatlarga alıp keledi degen juwmaqqa kelgen. N. I. Lobachevskiy 1826 jıl 7 fevralda Qazan universitetiniń fizika-matematika fakultetine uzınıń “Geometriya qaǵıydaları haqqında” degen lekciyasın tapsırǵan. 1829 jılda “Geometriyaning baslanıwı haqqında” degen maqalasın “Qazan universiteti ilimpazlarınıń jumıslari” gruppaına kirgizgen. Bul bolsa onıń jańa geometriya haqqında eń birinshi jumısı edi. Keyingi jıllarda N. I. Lobachevskiy geometriya haqqında kóp islerdi úyrendi. Bul jumıslarında ol v postulatni yevklidning qalǵan hákisiomalaridan keltirip shıǵarıp bolmaydı dep tiykarlaǵan hám anıq tariyp bergen. Lobachevskiy óziniń geometriyasini tegislikte hám keńislik trigonometrik formulalardı kirgizgen halda rawajlanıwlastırǵan. Bul geometriyani ol “iybeliy geometriya” dep ataǵan. Jańa-jańa dálillerdi ashıwda Lobachevskiy óziniń geometriyasida logikalıq qarama-qarsılıqtı ushıratmadi. Bul geometriyani hesh qashon qarama-qarsılıqlarǵa alıp kelmewin kórsetiwdi xoxlagan Lobachevskiy uzınıń geomeriyasida analitik tekseriwler júrgizedi hám zidsizlik mashqalasın sheshedi. Lobachevskiyning derlik barlıq zamanlasları onıń geometriyasi qátelikke iye dep esaplawar edi. Olar tekǵana bul geometriya dıń sırtqı dunyada qo''llanilmasligi, bálki bul geometriyaning keyingi rawajlanıwı dawamında óz-ózinde ishki qarama-qarsılıq kelip shıǵadı dep esapashgan. Lobachevskiy geometriyasi menen baylanıslı quramalı sorawlardı analiz etpesakda onıń ámeliy nátiyjeni ámelde qollanıwın aytıp ótiw múmkin. Lobachevskiy geometriyasi XX ásirdiń baslarında jaratılǵan salıstırmalıq teoriyasın tereń hám izbe-iz ashıp bere aladı. Lobachevskiy geometriyasining tuwrı ekenligine túsinip jetken ilimpazlar aldında taǵı bir másele turardı : “qanday etip Lobachevskiy geometriyasiga qoyılǵan qarama-qarsılıq aybın alıp taslaw múmkin”. Sol maqsette birinshi model 1868 jılda E. Beltrami tárepinen qurıldı. Sonıń menen birge nemis matematigi F. Kleyn hám fransuz matematigi Anri Puankare modelleri bar. 1882 jıllarda fransuz matematigi Anri Puankare Lobachevskiy geometriyasining modelin qurdi. Onıń ushın ol ápiwayı sheńberden paydalanǵan. Eki sızıq, sheńber yamasa tuwrı sızıq ortogonal bolıwı ushın olar tuwrı minnetk astında kesilisiwleri kerek. Mektep matematikasınan ekenin aytıw kerek, eki sheńber arasındaǵı múyesh delingende olardıń kesilisiw sızıǵınan ótetuǵın urınbaları arasındaǵı múyesh tushunilsa, tuwrı sızıq hám sheńber arasındaǵı múyesh delingende tuwrı sızıq hám kesilisiw noqatınan ótkerilgen urınba arasındaǵı múyesh túsiniledi. Bilgenimizdey tuwrı sızıq sheńberge ortogonal bolsa, ol sheńber orayından ótedi. Usınıń menen birge eki ortogonal sheńberler kesilisken noqatınan hár bir sheńberge ótkerilgen urınbalar ekinshiniń orayından ótedi . Bul tastıyıqler tómendegi eki zárúrli máselelerdi sheshiwde qol keledi. Sheńberdiń A hám B noqatlarınan oǵan ortogonal sheńber ótkeriń. Sheshiw. Ízlenip atırǵan sheńber orayı sheńberdiń orayı O noqattan AB tuwrı sızıqqa túsirilgen perpendikulyar hám OA tuwrı sızıqqa A noqatınan ótkerilgen perpendikulyarlar kesilisken noqatda boladı. Eger perpendikulyarlar kesiwse sheshim birden-bir boladı. Sheshimge iye bolmaytuǵın jaǵday bul A hám B noqatlar diametral keri noqatlar bolǵanında yaǵnıy AB tuwrı sızıqtıń ózi berilgen sheńberge ortogonal bolǵan hallar túsiniledi. 2-másele. sheńber jáne bul sheńber sırtında O1 noqat berilgen. O1 oraylı hám berilgen sheńberge orthogonal sheńber ótkeriń. Sheshiw. A noqat OO1 diametrli sheńberdiń berilgen sheńber menen kesilisken noqatlarınan biri bolsın. Ol halda (O1, │O1 A│) - sheńber ızlengen sheńber boladı. Puankare modelin úyreniwde iversiya jáne onıń ózgesheliklerin biliw zárúrli áhmiyetke iye boladı. Inversiya hám inversion almastırıwlar (O, r) inversiya dep (yamasa O oraylı r radiuslı sheńberge salıstırǵanda simmetriya ) tegisliktiń qálegen M noqatına OM nurda yotuvchi hám shártni qánaatlantıratuǵın M/ noqattı uyqas keltiretuǵın almastırıwǵa aytıladı. O - noqat inversiya orayı (tegislikte obrazı anıqlanbaǵan birden-bir noqat ), r - inversiya radiusı, (O, r) - inversiya sheńberi dep ataladı. Inversiyaning tiykarǵı ózgeshelikleri: 1) aylana ishindegi noqatlar sheńber sırtındaǵı noqatlarǵa hám kerisinshe sheńber sırtındaǵı noqatlar sheńber ishindegi noqatlarǵa akslanadi; 2) inversiya sheńberine tiyisli noqatlar óz-ózine akslanadi; 3) inversiya orayından ótetuǵın to'gri sızıq az-oziga akslanadi; 4) inversiya orayından ótetuǵın sheńber tuwrı sızıqqa akslanadi; 5) inversiya orayından ótpegen sheńber sheńberge akslanadi; 6 ) inversiyada sızıqlar arasındaǵı múyesh úlkenligi saqlanadı ; 7) inversiya tegisliktegi basqa simmetriyalar sıyaqlı onı eki ret orınlaw menen ayniy almastırıwǵa aylanadı. Joqarıda aytıp ótilgen ózgeshelikler tastıyıqı tuwrıdan-tuwrı payda etinadi. Bul ózgeshelikler tastıyıqı pedagogika joqarı oqıw orınları Geometriya stulda uyreniledi. 8) istalgan inversiya sheńberine ortogonal sheńber óz-ózine hákislenedi. Tastıyıq. berilgen sheńber 4-qasiyetke tiykarlanıp inversiyada sheńberge akslangan bolsın. 2-qasiyetke kóre sheńber inversiya sheńberi menen A hám B noqatlarda kesilisken bolsın. Bul noqatlardıń obrazı taǵı sol noqatlardıń ózi boladı. sheńber de bul noqatlardan ótedi. 5- qasiyetke tiykarlanıp sheńber inversiya sheńberine ortogonal boladı. Biraq 1-máselege tiykarlanıp A hám B noqatlardan sheńberge birden-bir ortogonal sheńber ótkeriw múmkin edi. Sonday eken, hám sheńberler ústpe-úst túsedi. 9 ) inversiya sheńberi menen ústpe-úst tushmagan sheńber óz-ózine akslansa, bul sheńber inversiya sheńberine ortogonal boladı. Tastıyıq. 1-qasiyetke kóre berilgen sheńber inversiya sheńberin (2-qasiyet tiykarında ) óz-ózine akslanuvchi A hám B noqatlarda kesip ótedi. Inversiya orayı O hám A noqattan OA tuwrı sızıq ótkeremiz. Eger A noqat OA hám sheńberlerdiń birden-bir ulıwma noqatı bolmasa, olardıń taǵı qanday da D ulıwma noqatı ámeldegi bolıp, D noqattıń obrazı D/ noqatında da kesesiwi kerek boladı. Biraq tuwrı sızıq hám sheńber ush ulıwma noqatqa iye bola almaydı. Sonday eken, A noqat sheńber hám OA tuwrı sızıqtıń birden-bir ulıwma noqatı boladı hám OA tuwrı sızıq sheńberge A noqatda urınar eken. Inversiya puakare modelinde qózǵaw wazıypasın atqaradı. Sol sebepli model mánisin úyreniw ushın inversion soǵıwǵa tiyisli máselelerdi biliw zárúrli áhmiyetke iye. 3-másele. Q oraylı sheńber ishindegi X noqat berilgen. sheńberge ortogonal sonday sheńber yasangki, bunda X hám Q noqatlar simmetrik bolsın. Sheshiw. QX to'gri sızıqqa perpendikulyar tuwrı sızıq sheńber menen A noqatda kesiwedi. A noqattan QA ga perpendikulyar tuwrı sızıq QX tuwrı sızıqtı O noqatda kesip ótedi. (O, │OA│) sheńber ızlengen sheńber boladı. Bul jerde Lobachevskiy geometriyasi dıń tiykarǵı túsinikleri ornında ádetiy bolmaǵan noqat, tuwrı sızıq, yevklid geometriyasini qózǵaw yamasa kóbirek arnawlı túsinikler isletiledi. Bul modeldi beriw ushın Lobachevskiy geometriyasi tiykarǵı túsiniklerin Yevklid geometriyasidagi arnawlı saylanǵan túsinikleri arasında “Lo'g'at” tuzib alıw kerek boladı. Puankare modeli ushun bul lo'g'at bul kóriniste boladı. Lobachevskiy tegisligi degende Yevklid tegisliginiń Q oraylı ayalana menen shegaralanǵan sheńberi ishki bólegi túsiniledi. Lobachevskiy tegisliginiń noqatı sheńberdiń ishki noqatı boladı. Tuwrı sızıq degende sheńberge orthogonal sheńberdiń sheńber ishindegi bólegi túsiniledi (sonday eken, sheńber diametr menen ústpe-úst tusmegen vatarlari tuwrı sızıq esaplanbaydı ). Lobachevskiy tegisliginde qózǵaw degende sheńberdiń bul tiykarǵı almastırıwları tusuniladi: 1) sheńberdiń onıń orayı Q noqat átirapında qálegen múyeshka burıw ; 2) sheńberdi diametrine yamasa sheńberge orthogonal qálegen sheńberge salıstırǵanda simmetrik almastırıw. Sonıń menen birge bul almastırıwlardıń kompozitsiyalari. Bul sıyaqlı “noqat”, “tuwrı sızıq”, “tegislik”, “tegislikti qózǵaw” sózlerdi alıw menen Lobachevskiy geometriyasidıń barlıq hákisiomalari atqarıladı. Sonday eken, Lobachevskiy geometriyasi qarama-qarsılıqsız yaǵnıy zidsiz geometriya eken. Bul haqqında model avtorı Anri Puankare tómendegi sózlerdi aytqan edi: “Lobachevskiy teoremasini alıp onı ózimiz dúzgen lo'g'at boyınsha tap qandayda bir tekstni fransuz tilinen anglichan tiline awdarma etken sıyaqlı ótkeremiz. Nátiyjede biz Yevklid geometriyasida biykarlap bolmaytuǵın nátiyjelerdi kóremiz.” Bul awdarma jasaw Yevklid geometriyasining zidsizligidan lobachevskiy geometriyasining zidsizligini kórsetildi. Sol sebepli de Anri Puankare: “Hesh qaysı bir geometriya basqasına qaraǵanda haqıyqatqa jaqınlaw bolıwı múmkin emes”,- degen edi. Hákisiomalarni tekseriw I. Qálegen qózǵaw “tegislik” ni óz-ózine ótkeredi, usınıń menen birge tuwrı sızıqtı tuwrı sızıqqa ótkeredi. II. Qálegen eki “noqat”dan bir hám tek bir tuwrı sızıq ótedi. III. “tegislikti qózǵaw”da “tuwrı sızıqlar” arasındaǵı múyesh úlkenligi saqlanadı. Iv. Qálegen eki “tuwrı sızıq” kongurent, yaǵnıy olardan birin ekinshige ótkeriwshi “tegislikti qózǵaw” bar. v. “tuwrı sızıq”qa tiyisli bolmaǵan qálegen “noqat”dan “tuwrı sızıq” bian ulıwma noqatqa iye bolmaǵan keminde eki “tuwrı sızıq” ótkeriw múmkin. Bul hákisiomalarni tastıyıqların qaray shıǵayıq. I. sheńberdi óz orayı átirapında burıw, yamasa bul sheńberdi óz diametrine salıstırǵanda simmetrik almastırıw onı óz-ózine ótkeredi. Tegislikte qálegen sheńberdi inversiya sheńberi retinde alıp, oǵan orthogonal sheńberdi inversion almastırilganda sheńber óz-ózine almasadı. Yaǵnıy sheńberdi sheńber ajratgan bólimler orınlarındı almastıradı. Ulıwma alǵanda sheńber ózinde qolar eken. II. Bunıń orınlı ekenligi 5-máseleden kórinedi. III. Bul barlıq qózǵawlar uchu orınlı, atap aytqanda olardıń kompozitsiyalari uhun da orınlı boladı. IV. Bul 4-máseleden kelip shıǵadı. V. Berilgen tuwrı sızıq ni A hám B noqatlarda kesip ótken bolsın. Daslep menshikli holni qaraymız P hám A noqatlardı óz ishine alıwshı hám sheńberge orthogonal sheńber birden-bir bolıp, P hám B noqatlardı óz ishine alıwshı sheńberge orthogonal sheńber de birden-bir boladı. “Lo'g'at” boyınsha bul sheńberler berilgen tuwrı sızıq Menen kesilispeytuǵın tuwrı sızıqlar esaplanadı. Bul jerde A hám B noqatlar Lobachevskiy tegisligine tiyisli emesligin atap ótiw kerek. Paydalanǵan ádebiyatlar А.Я.Нарманов, А.С.Шарипов, Геометрия асослари, Т. Университет, 2004. – 88б. N. D. Akejanov, M. Sh. Jo'rayeva Geometriya I bólim, “Oqıtıwshı” baspası, T. 1982 y., 368 bet. А.Д.Александров и др. Геометрия для 10-11 классов, Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./ А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с. С.Гиндикин Волшебный мир Анри Пуанкаре, «Квант», №12, 1975г., kvant.mccme.ru. Yüklə 50,76 Kb. Dostları ilə paylaş:
|