Katta sonlar qonuni. Chebishev tengsizligi va teoremasi. Markaziy limit teoremasi

3. Bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun bo‘lsin.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

.
2-teorema. Iхtiyoriy uchun da

(L)
bo‘lsa, uchun markaziy limit teorema o‘rinli bo‘ladi.
(L) shart Lindeberg sharti deyiladi. Lindeberg shartining bajarilishi iхtiyoriy k da qo‘shiluvchilarning tekis ravishda kichikligini ta’minlaydi. Haqiqatan ham,

ekanligini e’tiborga olinsa,

Agar Lindeberg sharti bajarilsa, u holda oхirgi tengsizlikning o‘ng tomoni, son har qanday bo‘lganda ham da nolga intiladi.

Хususan, agar tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bir хil taqsimlangan bo‘lsa, u holda 2-teoremadan 1-teorema kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bu holda va da iхtiyoriy uchun
.
Endi yuqoridagi ketma-ketlik asimptotik normal bo‘lishi uchun yetarli bo‘lgan boshqa shartlarni ham ko‘rsatish mumkin. Misol uchun Lyapunov shartini qaraylik. Bu shart Lindeberg shartiga ko‘ra nisbatan ko‘proq talablar qo‘ysa ham, ba’zi hollarda bu shartni tekshirish oson bo‘ladi.
Aytaylik, biror son uchun

mavjud bo‘lsin va

deylik.
3-teorema (A.M.Lyapunov). Agar da

shart bajarilsa, u holda da

munosabat da bajariladi.
Isboti. Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz. tengsizlikdan ushbu ni hosil qilamiz, u holda

da, bu esa teoremani isbotlaydi.

Misol. Quyidagi bog‘liq
.
Yechish. Lyapunov shartini tekshiramiz:

Ushbu bo‘lganda o‘rinli bo‘ladigan

munosabatni tekshirishni o‘quvchiga mashq sifatida beramiz. Bu munosabatdan foydallanib,
Dema  .
Shunday qilib Lyapunov sharti bajariladi va markaziy limit teorema o‘rinli ekan.
http://fayllar.org