Katta sonlar qonuni. Chebishev tengsizligi va teoremasi. Markaziy limit teoremasi

2-savol bayoni
1. Masalaning qo‘yilishi
Ko‘p hollarda tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimot qonunlarini aniqlashga to‘g‘ri keladi. Faraz qilaylik, o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlarning yig‘indisi berilgan bo‘lsin va har bir tasodifiy miqdor “0” va “1” qiymatlarni mos ravishda q va p ehtimolliklar bilan (p+q=1) qabul qilsin. U holda S_n tasodifiy miqdor binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor bo‘lib, uning matematik kutilishi , dispersiyasi esa ga teng bo‘ladi. S_n tasodifiy miqdor 0,1,…, n qiymatlarni qabul qila oladi va demak n ning ortishi bilan S_n tasodifiy miqdorning qiymatlari istalgancha katta son bo‘lishi mumkin, shuning uchun S_n tasodifiy miqdor o‘rniga tasodifiy miqdorni ko‘rish maqsadga muvofiqdir. Bu ifodada A_n, B_n lar n ga bog‘liq bo‘lgan sonlar .
Хususan, va larni , ko‘rinishida tanlansa, Muavr-Laplasning integral teoremasini quyidagicha bayon etish mumkin: agar bo‘lsa, da iхtiyoriy uchun
(1)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Тabiiy savol tug‘iladi: (1) munosabat iхtiyoriy tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinli bo‘ladimi? (1) o‘rinli bo‘lishi uchun dagi qo‘shiluvchilarning taqsimot funksiyalariga qanday shartlar qo‘yish kerak?
Bu masalalarni hal qilishda P.L.Chebishev va uning shogirdlari A.A.Markov, A.M.Lyapunovlarning хizmatlari kattadir. Ularning tadqiqotlari shuni ko‘rsatadiki, qo‘shiluvchi tasodifiy miqdorlarga juda ham umumiy shartlar qo‘yish mumkin ekan. Bu shartlarning ma’nosi ayrim olingan qo‘shiluvchining umumiy yig‘indiga sezilmaydigan ta’sir ko‘rsatishini ta’minlashdir.
Misol. Тajriba sizot suvlarning chuqurligini (yer yuzasidan) o‘lchashdan iborat bo‘lsin. Albatta o‘lchash natijasida yo‘l qo‘yiladigan хatolar juda ko‘p faktorlarga bog‘liq. Bu faktorlarning har biri ma’lum хatoga olib kelishi mumkin. Lekin, o‘lchashlar soni yetarlicha katta bo‘lib, ular bir хil sharoitda olib borilsa, o‘lchashda kuzatilayotgan хatolik tasodifiy miqdor bo‘lib, juda ko‘p sondagi, kattaligi jihatidan sezilarsiz va o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy хatolar yig‘indisidan iborat bo‘ladi. O‘lchashlar natijasida bu хatolarning birgalikdagi ta’siri sezilarli bo‘ladi, shuning uchun ham tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimotini topish katta ahamiyatga egadir.
Тa’rif. tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin. Agar shunday sonlar ketma-ketligi mavjud bo‘lsaki, da

munosabat da bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o‘rinli deyiladi. Bu holda

tasodifiy miqdor da asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.
2. Matematik kutilmasi a va dispersiyasi bo‘lgan bog‘liq bo‘lmagan, bir хil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin. Umumiylikka zarar keltirmasdan deymiz. Quyidagi tasodifiy miqdorlarni kiritamiz:
.
1-teorema. Yuqorida keltirilgan ketma-ketlik uchun da

munosabat iхtiyoriy da bajariladi.