Keling, biz o'rgangan funktsiyani interpolyatsiya qilish usuliga oid ikkita muhim savolni ko'rib chiqaylik

Teorema 1. Haqiqiy baholar
(3)
Isbot. ga eng yaxshi yagona yaqinlikdagi ko‘phad bo‘lsin. Interpolyatsiya ko'phadning yagonaligi sababli . Shuning uchun



Quyidan baho ta'rifi bo'yicha amal qiladi.
Yuqori bahodan (3) ko'rinib turibdiki, interpolyatsion ko'phad eng yaxshi yagona yaqinlikdan ko'pi bilan marta kam aniq.
Interpolatsiya sezgirligi.
Keling, yuqorida berilgan savollarning ikkinchisiga javobni ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, interpolyatsiya tugunlarida ning aniq qiymatlari o'rniga ning taxminiy qiymatlari dan oshmaydigan xato bilan ma'lum. Shunday qilib, o'rniga qiymatlaridan bezovtalangan ko'phad tuziladi. Bu esa ning dan chetlanishini ifodalaydi.

Lebeg doimiysi

Keling, biz o'rgangan funktsiyani interpolyatsiya qilish usuliga oid ikkita muhim savolni ko'rib chiqaylik:

1) funktsiyani algebraik ko'phad orqali interpolyatsiya qilish usuli qanchalik aniqlik jihatidan funktsiyani bir xil darajadagi algebraik ko'phad bilan yaqinlashtirishning eng yaxshi usulidan past?
2) funktsiyani ko'rsatishdagi xatoga interpolyatsiya ko'phad qanchalik sezgir? Amaliy hisob-kitoblarda biz har doim taxminan berilgan funktsiyalar bilan shug'ullanamiz (nima uchun?).
Bu ikkala savolga javob Lebeg doimiysiga bog'liq.
Ta'rif 1. ${{\Omega }_{n}}=\left\{ {{x}_{i}} \right\}_{i=1}^{n}$ $\left[ a,b \right]$ ustidagi to'r bo'lsin.
${{\Lambda }_{n}}\left( x \right)={{\Lambda }_{n}}\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left| {{\ell }_{i}}\left( x \right) \right|}$ (1)
funksiya Lebeg funksiyasi deb ataladi, Lebeg doimiysi esa
${{\Lambda }_{n}}\left( x \right)={{\Lambda }_{n}}\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}} \right)=\underset{x\in \left[ a,b \right]}{\mathop{\max }}\,{{\Lambda }_{n}}\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}} \right)$
sondir.
a) $1\le {{\Lambda }_{n}}\left( x \right)\le {{\Lambda }_{n}}$ baholar har qanday $x\in \left[ a,b \right]$ uchun amal qiladi. Chap baho $1=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\ell }_{i}}\left( x \right)}$ doimiyning oddiy natijasi, o'ng baho esa ${{\Lambda }_{n}}$ ta'rifining natijasidir.
b) ${{\Lambda }_{n}}$ qiymati $\left[ a,b \right]$ ga bog'liq emas, faqat undagi tugunlarning nisbiy holatiga bog'liq (buni tekshirish uchun (1) $x=a+\left( b-a \right)t,\,\,\,t\in \left[ 0,1 \right]$ o'zgaruvchisini almashtiring).