Kirish Chiziqli fazolar

1.3 Evklid fazolari
Endi biz normalangan fazoning xususiy holi bo‘lgan va funksional analizda keng qo‘llaniladigan Evklid fazosini ko‘rib chiqamiz.
Ta’rif. Haqiqiy E chiziqli fazoning ixtiyoriy ikki 𝑥 va 𝑦 elementlari uchun aniqlangan, (𝑥, 𝑦) ko‘rinishida belgilanuvchi va quyidagi
1. (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥);
2. ( + ,) = ( , 𝑦) + ( , 𝑦), , ∈ 𝐸;
3. (𝜆𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦), 𝜆 ∈ 𝑅;
4. (𝑥, 𝑥) ≥ 0; (𝑥, 𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝜃
to‘rt shartni (aksiomalarini) qanoatlantiruvchi funksiya skalyar ko‘paytma deyiladi. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi.
Misollar. 1) fazoda skalyar ko‘paytmani (𝑥, 𝑦)= kabi aniqlash mumkin.
2) fazoda skalyar ko‘paytma (𝑥, 𝑦)= kabi aniqlanadi.
Normaning birinchi sharti skalyar ko‘paytmaning to‘rtinchi aksiomasidan bevosita kelib chiqadi. Normaning ikkinchi sharti skalyar ko‘paytmaning uchinchi aksiomasi natijasidir. Haqiqatan,

Evklid fazosining ayrim xossalarini keltiramiz.
1-xossa. Agar → 𝑥, → 𝑦 norma ma’nosida yaqinlashsa, u holda
( , ) → (𝑥, 𝑦) bo‘ladi (skalyar ko‘paytmaning uzluksizligi).
Isbot. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan
|(𝑥, 𝑦) − ( , )| ≤ |(𝑥, 𝑦 − ) + (𝑥 − , )| ≤ |(𝑥, 𝑦 − )| + |(𝑥 − , )| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦 − ‖ + ‖𝑥 − ‖‖ ‖
Yaqinlashuvchi { } ketma-ketlikning normasi chegaralangan bo‘lgani uchun oxirgi ifoda nolga intiladi.
2-xossa. Evklid fazosining ixtiyoriy 𝑥, 𝑦 elementlari uchun
‖𝑥 + 𝑦‖²+ ‖𝑥 − 𝑦‖²= 2(‖𝑥‖² + ‖𝑦‖²) tenglik o‘rinli (parallelogramm formulasi).
Isbot. Haqiqatan, ‖𝑥 + 𝑦‖²+ ‖𝑥 − 𝑦‖²= (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦) = (𝑥, 𝑥) + (𝑥, 𝑦) + (𝑦, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) + (𝑥, 𝑥) − (𝑥, 𝑦) − (𝑦, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) = 2((𝑥, 𝑥) + (𝑦, 𝑦)) = 2(‖𝑥‖²+ ‖𝑦‖²). 3-xossa. a) 𝑥⊥ va 𝑥⊥ munosabatlaridan 𝑥⊥(𝜆 +𝜇 ) munosabat kelib chiqadi (𝜆, 𝜇 -haqiqiy sonlar).
b) 𝑥⊥ (n=1,2,...) bo‘lib, { } ketma-ketlik y elementga yaqinlashsa, u holda 𝑥 ⊥ 𝑦 bo‘ladi.
4-xossa. Agar 𝑥 ⊥ 𝐴 bo‘lsa, u holda 𝑥⊥ bo‘ladi. E Evklid fazosining A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lgan barcha elementlar to‘plamini bilan belgilaymiz.
5-xossa. Agar 𝐴 ⊂ 𝐸 bo‘lsa, u holda to‘plam E ning qism fazosi bo‘ladi.