Kirish differensial tenglamalar

3-misol:

( y xy² )dx xdy 0

tenglamni yeching.

Yechish: Bu yerda

M y xy² , N x ,

M _N

y x

Demak, to’la differensialli

tenglama emas. Bu tenglamani faqat y ga bog’liq bo’lgan integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanlini tekshiramiz.

N _M

x y

_1 1 2xy _2

ekanligidan integrallovchi ko’paytuvchisi bor degan

M y xy² y

xulosaga kelamiz va uni quyidagicha topamiz.

ln _2 _

ln 2ln y 

¹ .

y y y²

Berilgan tenglamani har ikkala tomonini ga ko’paytirib,

M _N _1

y x y²

bo’lganini, ya’ni to’la differensialli tenglama hosil qilinganligiga ishonch hosil

2

qilamiz va tenglamani yechib,

x _x

C 0 

y  ^2x

umumiy

y 2

yechimini topamiz.

x² 2C

Birinchi tartibli differensial tenlamalarning maxsus yechimlari.

Klero va Lagranj tenglamasi

Faraz qilaylik

F (x, y, ^dy ) 0

dx
(1)

differensial tenglamaning umumiy integrali

Ф(x, y, C) 0
(2)

tenglamaga mos integral egri chiziqlar oilasining o’ramasi mavjud, deb faraz qilamiz. Bu o’rama (1) differensial tenglamani integral egri chizig’i bo’ladi.

Ta’rif: Agar L chiziq o’zining har bir nuqtasi bilan bir parametrli chiziqlar oilasining u yoki bu chizig’iga urinsa, L chiziq bir parametrili chiziqlar oilasining o’ramasi deyiladi. (1-rasm).

3.