Kompleks hədli sıralar

Sıra əmsallarının Furye formulu ilə təyini

Fərz edək ki, (1) sırasının cəmi dövrlü periodik funksiyasıdır.

(2)

Bu zaman deyirlər ki, funksiyası triqonometrik sıraya ayrılır. Bu sıranın parçasında müntəzəm yığıldığını fərz edərək, onun əmsallarını təyin edək. (2) –nin hər tərəfini -dən -yə inteqrallayaq.

Sağ tərəfdəki inteqralları ayrıca hesablayaq.

(3)

Nəticədə

Buradan (4)

Sıranın qalan əmsallarını hesablamaq üçün biz əlavə olaraq bir sıra müəyyən inteqrala baxaq. Əgər və -tam ədədlər isə və əgər isə onda

I
Əgər isə, onda

II
Məsələn, (I) qrupda birici inteqralı hesablayaq.

Onda

(I)-in qalan formulaları da analoji hesablanır.

Formullarının köməyi ilə indi (2) sırasının və əmsallarını hesablamaq olar. əmsallarını tapmaq üçün olmaqla (2) bərabərliyini hər tərəfini -ə vuraq.

bərabərliyini , -yə qədər inteqrallayaq.

(II) və (I) formularını nəzərə alsaq, görərik ki, inteqralın sağ tərəfində ənsalları olan inteqraldan başqa bütün inteqrallar sıfra bərabərdir. Nəticədə,

Buradan (5)

-nin hər tərəfini -ə vurub -dən, -yə inteqrallasaq, alarıq

Buradan (7)

(4) –(7) formuları ilə təyin olunan əmsallar funksiyasının Furye əmsalları adlanır belə əmsallarla verılən (1) triqonometrik sırası isə funksiyasının Furye sırası adlanır.

Funksiya hansı xassələrə malik olmalıdır ki, onun üçün qurulan Furye sırası yığılsın və qurulan nöqtələrindəki qiymətinə bərabər olsun.

Tərif Əgər - parçasını nöqtələri ilə intervallarına elə bölmək olarsa ki, bu intervalların hər birində funksiya monoton olsun

( ya artmasın , ya da azalmasın ) onda funksiyası -də hissə-hissə monoton adlanır tərifdən ayddın olur ki, əgər funksiyası -də hissə-hissə monoton və məhdud isə , onda o yalnız I növ kəsilmə nöqtəsinə malik olar. Həqiqətən də, əgər funksiyasının kəsilmə nöqtəsi olarsa, onda funksiyanın monotonluğuna görə

limitləri var.yəni c-I növ kəsilmə nöqtəsidir.

Teorem: Əgər periodlu periodik funksiyası parçasında hissə-hissə monoton və məhdud isə, onda bu funksiya üçün qurulan Furye sırası bütün nöqtələrdə yığılır.Sıranın alınan cəmi funksiyasının kəsilməz nöqtələrindəki qiymətinə bərabərdir. Kəsilmə nöqtələrində funksiyasının cəmi funksiyasının sağ və sol limitlərinin ədədi ortasına bərabərdir. Yəni

Bu teorem göstərir ki, Furye sırası şəklində göstərilə bilən funksiyalar sinfi çox genişdir.Furye sıraları Riyazi fizikada və onun tədbiqlərində mexanika və fizikznın konkret məsələlərinə tətbiq edilir.

Misal1. periodlu funksiyası aşağıdakı kimi verilir. Bu hissə-hissə monoton və məhduddur. Furye sırasına ayırmaq olar.

hissə-hissə tətbiq etməklə

Beləliklə

Cüt və tək funksiyalar üçün Furye sıraları . İxtiyari 2l periodlu funksiyalar üçün Furye sırası. Periodik olmayan funksiyanın Furye sırası

1. 
   Cüt və tək funksiyalar üçün Furye sıraları
   

Cüt və tək funksiyaların tərifindən alınır ki, əgər -cüt isə onda

olar.Doğurdan da

Tək funksiyalar üçün də onda olar. Doğurdan da

-tək funksiyası Furye sırasına ayrılarsa, onda - tək funksiya olar. -cüt olar.

Nəticədə

(1)

olar.

Tək funksiyanın Furye sırası yalnız sinusları hesablayır. Əgər Furye sırası cüt funksiya üçün ayrılırsa -tək, - cüt olar.Nəticədə

, , (2) olar.

Cüt funksiyalar üçün Furye sırası yalnız kosinuslardan ibarət olar.

Funksiya tək və ya cüt olduqda (1) və (2) düsturlar Furye əmsallarının hesablanmasını asanlaşdırır.Aydındır ki, heçdə bütün periodik funksiyalar tək və ya cüt deyil.

Misal. -də bərabərliyi ilə verilmiş periodlu funksiyasının cüt Furye ayrılışını yazmaq tələb olunur.(2)-yə görə üçün

İxtiyari 2l periodlu funksiya üçün Furye sırası
Fərz edək ki, 2l periodlu funksiyası verilib. Onu Furye sırasına ayıraq. əvəz edək. Onda periodlu t-nin funksiyası olar. Onu parçasında Furye sırasına ayırmaq olar.

(1) Burada

qayıdaq köhnə x-dəyişəninə

onda

(2)

(1) Düsturu

(3)

olar. əmsalları (2) düsturları ilə verilir. Bu 2l periodlu Furye sırasıdır.

Misal. parçasında bərabərliyi ilə verilən 2l periodlu funksiyasını Furye sırasını ayıraq.

həlli: -cüt olduğu üçün ,

Nəticədə ayrılış aşağıdakı kimi olar.

Periodik olmayan funksiyanın Furye sırası
Fərz edək ki, -də hissə-hissə monoton funksiyası verilib.

göstərək ki, funksiyasını kəsilməzlik nöqtələrində Furye sırasının cəmi şəklində göstərmək olar. Bunun üçün -də funksiyası ilə üst-üstə düşən periodlu hissə-hissə monoton periodik ixtiyarı funksiyasına baxaq. -i Furye sırasına ayıraq. Bu sıranın cəmi -nin bütün nöqtələrində (kəsilmə nöqtələrindən başqa) verilmiş -lə üst-üstə düşür. Yəni -i -də Furye sırasına ayırdıq.

İndi mühüm hala baxaq. Fərz edək ki, -də verilib. Bu funksiyanı ixtiyari qayda ilə -a tamamlayaraq (hissə-hissə monotonluğu saxlayaraq ).Biz bu funksiyanı Furye sırasına ayıra bilərik.

Xüsusi halda əgər -i biz belə tamamlasaq ki, olduqda , onda cüt funksiya alarıq. (Bu zaman deyirlər ki, funksiyası cüt obraz olaraq davam etdirilib)

Bu funksiya yalnız kosinusları saxlayaraq. Furye sırasına ayrılır.Beləliklə -də -i biz kosinuslara ayırdıq.

Əgər biz funksiyasını belə davam etdirsək ki, olduqda olsun , onda tək funksiya alarıq. Onu da sinuslara ayırmaq olar. ( -tək obraz olaraq davam etdirilib) .Beləliklə parçasında hissə-hissə monoton funksiyası verilibsə, onda onu Furye sıralarına həm kosinus və həm də sinuslara ayırmaq olar.

Misal.

-də sinuslarla sıraya ayırmaq tələb olunur.

Həlli: Bu funksiyanın tək obraz olaraq davam etdirək, onda

alarıq.

Misal 2. -də kosinuslar olmaqla sıraya ayıraq.

Həlli : Cut obraz olaraq davam etdirək, onda alarıq. Onu sıraya ayırsaq alarıq.

Beləliklə -də

doğrudur.

Drixle inteqralı. Furye sırasının verilmiş nöqtədə yığılması. Furye sırasının yığılması üçün bəzi kafi şərtlər.

Furye sırasının n-ci xüsusi cəmi üçün müəyyən inteqrala verilmiş düstur çıxaraq. periodlu f(x) funksiyasının Furye cəminin n-ci xüsusi cəminə baxaq.

bu ifadələri formulunda yazsaq alarıq.



və -i inteqral işarəsi altına salaq ( və inteqrallama dəyişənində asılı olmadığı üçün onlara sabit kimi baxmaq.



-ni mötərizə xaricinə çıxararaq inteqrallar cəmini cəmin inteqralı ilə əvəz etsək alarıq.

(1)

Kvadrat mötərizəni çevirsək onda (1)- bərabərliyini

kimi yaza bilərik.

Yeni dəyişəni daxil edək götürək .

Onda (2)

düsturunu alarıq. Bu düsturun sağ tərəfi Dirixle inteqralı adlanır. Bu formulda götürək. Onda olduqda , nəticədə üçün) və biz

(3) eyniliyini alarıq.

Bu bizə gələcəkdə lazım olacaq.

Verilmiş nöqtədə Furye sırasının yığılması
Fərz edək ki, -də hissə-hissə kəsilməzdir. (3)-ün hər tərəfini f(x)-ə vuraq və sağ tərəfdə f(x)-i inteqral işarəsi altına salaq.

(2)-dən axırıncı bərabərliyi tərəf-tərəfə çıxsaq, alarıq:

Bir sıra çevirmələrdən sonra (H.C. Piskunov Diferensialnoe i inteqralnoe isçisleniya səh.342) limitə keçsək

alarıq.

Sağ tərəfdə ki, ifadədə inteqrallama aralığında getdiyi üçün inteqral funksiyasının yalnız aralığındakı qiymətlərdən asılıdır. Beləliklə axırıncı bərabərlikdən mühüm fakt alınır. Verilmiş x nöqtəsində Furye sırasının yığılması, funksiyasının yalnız x-in kafi qədər kiçik ətrafında yığılkmasından asılıdır. Əgər və funksiyaları x-in hər hansı ətrafında üst-üstə düşürsə, onda onların Furye sıraları eyni zamanda verilmiş nöqtədə ya yığılır, ya da dağılır. Bu Furye sırasının tədqiqində lokallaşdırma prinsipi adlanır.

Furye sırasının yığılması üçün bəzi kafi şərtlər

-də hissə-hissə kəsilməz funksiya isə , -da Furye sırasının yığılması -ın mərkəzi -da olan kiçik ətrafda özünü necə aparmasından asılıdır .isbat etmək olar ki, əgər funksiyası -ın ətrafında sonlu

Limitlərinə malikdirsə, - nöqtəsinin özündə isə funksiya kəsilməz olarsa, onda bu nöqtədə Furye sırası funksiyasının uyğun qiymətinə yığılır.

Furye sırasının kompleks şəkli
Fərz edək ki, periodlu funksiyasının

(1)

Furye sırası verilib.

və -i üstlü funksiyalarla ifadə edək.

məlum formulalarından istifadə edək .Beləliklə

,

(1)-də və -in qiymətlərini yazıb, uyğun çevirmələr aparsaq alarıq.

(2)

, (3) işarəmələri aparaq.

Bu işarələmələrlə (2) formulu aşağıdakı kimi olur.

Axırıncı bərabərlik daha kompakt

(4)

Bu Furye sırasının kompleks şəklidir.

və əmsallarını inteqrallarla ifadə edək. Furye əmsallarından istifadə edərək (3) düsturunu belə yazmaq olar.

Beləliklə

Analoji olaraq

və və -ın ifadəsini bir düsturda birləşdirmək olar.

(6)

və -lər funksiyası üçün kompleks Furye əmsalları adlanır

Əgər funksiyası 2l periodlu funksiya isə, onda üçün Furye sırası

(7) şəklində olar.

Aydındır ki, bu halda (4) formulu

(8) –lə ifadə olar.
-əmsalları isə

(9) ilə hesablanır.

Elektrotexnika və radiotexnika aşağıdakı terminolojiya işlədilir. - ifadəsi harmonik adlanır. ədədləri dalğa ədədləri adlanır.( (10) funksiyasının ).Dalğa ədədlər küllüsü spektr adlanır. (9) –la təyin olunan əmsalları kompleks amplitud adlanır.

Furye inteqralı. Furye çevirmələri

Fərz edək ki, funksiyası sonsuz inteqralda təyin olunub və mütləq iinteqrallanandır. Yəni

(1) var.

Fərz edək ki, elədir ki, o -də Furye sırasına ayrılır.

(2)

(3)

(2)-də (3)-dəkiləri nəzərə alsaq

və ya

(4) ayrılışının limiti hansı şəkli alar?

Belə işarələmələr daxil edək

və (5)

(4)- də yerinə yazsaq alarıq.

(6)

olduqda birinci hədd sıfra yaxınlaşır. Doğrudan da



olduqda (6) düsturu

(7) şəklinə düşər. Sağ tərəfdəki ifadə funksiyası üçün Furye inteqralı adlanır. -i açaraq (7) –nin sağ tərəfindəki inteqralı çevirək.

.Bu ifadəni (7)-də yazıb, və -i inteqral işarəsindən kənara çıxaraq.(inteqrallama t-yə görə aparılır)

(8)

alarıq. (8)-də aşağıdakı xüsusi hallara baxaq.

1. 
   -cüt funksiyadır. Bu zaman -cüt; - tək olar onda
   

olar

Bu halda (8) düsturu

(9) şəklinə düşər.

2. 
   -tək funksiyadır. Bu halda (8) düsturu
   

(10) şəklinə düşər

Qayıdaq (9) düsturuna

(11) götürək. Onda (9) düsturu

(12) şəklində olar.

funksiyası funksiyası üçün kosinus-Furye çevirməsi adlanır.

Əgər (11)-də -ni məlum hesab etsək, axtarılan funksiya olarsa, onda (11)

funksiyası üçün inteqral tənlik adlanır. (12) düsturu bu tənliyin həllini verir.

(10) formuluna əsasən aşağıdakı bərabərlikləri yaza bilərik

(13)

(14)

funksiyası sinus Furye çevirməsi adlanır.

Misal. Fərz edək ki,

(11)-ə görə kosinus Furye çevirməsi

(13)-ə görə sinus Furye çevirməsi isə

olar.

(12) və (14) –dən alarıq.

Furye inteqralının kompleks şəkli
Furye inteqralında mötərizə işarəsində -dan asılı cüt funksiya olduğu üçün o -nın mənfi qiymətləri üçün də təyin olunub ona görə yuxarıdakı formulu
(1) şəklində yazmaq olar. Eyniliklə sıfra bərabər olan aşağıdakı ifadəyə baxaq

(tək funksiya )

Aydındır ki,

və ya

(2)

Qeyd. Sonsuz sərhədli yığılan inteqral aşağıdakı kimi təyin olunur.

Bu şərtlə sağ tərəfdəki hər iki inteqral var. Biz (2) bərabərliyini

şəklində yazırıq.

Aydındır ki, ola bilər ki, ( ) limiti var,( ) sağ tərəfdəki limit yoxdur .( ) sağ tərəfdə ifadə inteqralın baş qiyməti adlanır. Beləliklə (2) –də q/məxsusi inteqrala baş qiymət mənada baxılır.

(2)-ni -yə vuraq və (1)-lə toplayaq, onda alarıq.

,

(3)

(3)-ün sağ tərəfi funksiyası üçün kompleks formada Furye inteqralı adlanır. (3)-ü belə yazaq.

(4) və ya qısa olaraq

(5)

Burada

(6)

(4) iki bərabərlik şəklində yazılır.

(7)

(8)

(7) –ilə təyin olunan funksiyası üçün Furye çevirməsi adlanır. (8) –lə təyin olunan funksiyası üçün tərs Furye çevirmə adlanır.

Kompleks dəyişənli funksiya anlayışı. Kompleks dəyişənli funksiyanın törəməsi. Koşi – Riman şərtləri

Kompleks dəyişənli funksiya anlayışını verək.

Fərz edək ki, və kompleks ədədlər müstəvisi verilibş müstəvisində hər hansı D nöqtələr çoxluğuna, w müstəvisində G çoxluğuna baxaq.

Tərif. Əgər hər bir ədədi hər hansı qanunla, kompleks ədədinə qarşı qoyularsa, onda deyirlər ki,D çoxluğunda D çoxluğunuG çoxluğuna əks etdirən birqiymətli kompleks dəyişənli funksiya verilib.Bu simvolik olaraq -lə işarə edilir.

D çoxluğa funksiyasının təyin oblastı adlanır. Əgər G çoxluğunun hər bir nöqtəsi funksiyanın qiymətləri isə , onda deyirlər ki, funksiyasının köməyi ilə D çoxluğunun obrazı və ya G –funksiyasının qiymətlər oblastı verilir. Bu zaman deyirlər ki, funksiyası D-ni G-yə inikas edir.

funksiyasını bu şəkildə yazmaq olar.

Burada

funksiyaları x və y dəyişənlərinin həqiqi funksiyalarıdır. Hər üçün w-nin bir neçə qiyməti uyğun gəlirsə, onda çoxqiymətli adlanır. Kompleks dəyişənli funksiyalarda limit və kəsilməzlik anlayışı həqiqi dəyişənlərə analoji verilir.

Əgər 1) ödənərsə, deyirlər ki,

funksiyasının -nöqtəsində -yə brabər limiti var və bu belə yazılır.

(1) u və v funksiyaları dilində

(2) bərabərliyi şəklində yazılır və ya

(3)

Kompleks və funksiyaları üçün həqiqi funksiyalara analoji xassələr doğrudur.

(4)

(5) ödənərsə, onda funksiyası nöqtəsində kəsilməz adlanır. (5) bərabərliyi
ilə eynigüclüdür.

Misal 1. bütün kompleks müstəvidə verilib , qiymətləri müsbətdir. Bu funksiya kompleks müstəvinin bütün nöqtələrində kəsilməzdir.

Misal 2. (6)

Bu funksiya çoxqiymətlidir. -arqumentin baş qiymətidir.

Misal 3. o kəsilməzdir.

-də kəsilməzdir.

Əgər D kompleks müstəvinin açıq və əlaqəli çoxluğu isə , onda D kompleks ədədlər çoxluğu oblast adlanır. D oblastında istənilən kəsilməz özünü kəsməyən qapalı əyri müəyyən G oblastı əmələ gətirərək tamamilə D oblastında yerləşirsə, onda D birrabitəli oblast adlanır. Bu xassəni ödəməyən oblast çoxrabitəli oblast adlanır.

Misal 4. halda ikirabitəli oblastdır.
Kompleks dəyişənli funksiyanın törəməsi
Fərz edək ki, kompleks z müstəvisinin D (açıq, əlaqəli çoxluq) oblastında birqiymətli funksiya verilib.

(1)

z nöqtəsində funksiyasının törəməsi adlanır. İstənilən kompleks dəyişənli funksiyanın törəməsi yoxdur. (1)-in limitinin varlığı çox güclü tələbdir. -ə ixtiyari yolla yaxınlaşdıqda hər dəfə (1)-in limiti olmalıdır.

Kompleks müstəvinin D oblastının ixtiyari nöqtəsində kəsilməz törəmələrə malik olan funksiyası bu oblasta analitik funksiya adlanır.İsbat etmək olar ki, əgər D oblastında analitik funksiyasının törəməsi 0 isə . Onda funksiyasının G qiymətlər çoxluğu da oblastdır.(1)-dən alınır ki,

(2) burada

(3) Ona görədə isə onun birinci həddi baş hədd adlanır.

Qeyd 1. Kompleks dəyişənli funksiyasının D oblastının hər yerində törəməsi varsa, onda bu törəmə D oblastının hər yerində kəsilməzdir, başqa sözlə D-də analitikdir.

Qeyd 2. (3)-dən alınır ki, əgər -in z nöqtəsindətörəməsi varsa, onda o bu nöqtədə kəsilməzdir. (Yəni olduqda )

-in k tərtib törəməsi -lə işarə edilir və induksiya ilə

D oblastında analitik olan funksiyası kəsilməz törəməyə malikdirsə, onda -in D-də ixtiyari tərtibdən törəməsi kəsilməzdir.