Kompleks sonlar nazariyasi

Kurs ishining tarkibiy tuzilishi: Ish kirish, ikkita bob, boblar boʻyicha xulosalar, umumiy xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro#yxatidan tashkil topgan boʻlib, 48 betdan iborat.


I.BOB. SON TUSHUNCHASINING RIVOJLANISHI
1.1.Son tushunchasining rivojlanishi
Son-matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, kishilarning amaliy ehtiyojlaridan kelib chiqqan.Sonlarning vujudga kelishi va taraqqiyoti tarixi ilk bosqichlarini quyidagicha bayon etish mumkin:
Natural son- buyum va turli narsalarni sanash ehtiyoji tufayli paydo bo’lgan.
Musbat kasr son-miqdorlarni o’lchash va taqsimlash ehtiyoji tufayli vujudga kelgan.
Manfiy kasr sonlar-matematikaning o’z ehtiyojlari, ya’ni algebraik tenglamalarni yechish va nazariy asoslash ehtiyojlari sababli yaratilgan.
Nol soni— manfiy sonlarning kiritilishi tufayli paydo bo’lgan.
Bu ro’yxatni davom ettirish mumkin, lekin biz yuqorida tilga olingan sonlardan so’ng vujudga kelgan irrasional sonlar tarixi xaqida ma’lumotlarni bayon etishga kirishamiz.
Pifagor maktabida (miloddan avvalgi V asr) rasional sonlar har qanday kesmalarni aniq o’lchash uchun yetarli emasligi isbotlangan, o’lchovdosh bo’lmagan kesmalar, mavjudligi isbotlangan. Masalan, yuzi 2 ga teng kvadratning tomoni uning diagonali bilan o’lchovdosh emasligi Ye v k l i d n i n g «Negizlar» 10-kitobida qarama-qarshisidan faraz qilish yuli bilan isbotlanadi.
Bu kashfiyot Pifagor ta’limotiga zid edi, chunki ularning fikricha har "qanday miqdorni butun sonlar va ularning nisbatlari orqali ifodalash mumkin. Dastlab, uni sir saqlashga intildilar.
Pifagorchi Gippas Metapontskiy (molod. avv. V asr) ishini davom ettirib, shu asr oxirida Teodor Kerenskiy 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 44, 15, 17 kvadrat birlik yuzga ega bo’lgan kvadratlarning tomonlari birlik kvadratning tomoni bilan o’lchovdosh emasligini, ya’ni irrasional ekanligini isbotladi, Teetet esa umumiyrok masalani, ya’ni ixtiyoriy butun N son (to’liq kvadrat bo’lmagan) uchun sonning irrasionalligini asosladi.
Cheksiz ko’p kesma va geometrik miqdorlarni butun va kasr sonlar yordamida o’lchab bo’lmasligini anglagan pifagorchilar geometriya va algebrani sonlar haqidagi ta’limot yordamida emas, balki geometriyaning o’zi yordamida asoslashga urindilar. Shunday qilib, g ye o m ye t r i k a l g ye b r a yaratildi va rivojlandi, Shu asosda matematiklar butun sonlarni va har qanday miqdorlarni kesmalar, to’gri to’rtburchaklar va boshqa shakllar yordamida geometrik ifodalashga kirishdilar.
Arab Sharqi mamlakatlarida VII asrdan boshlab matematika rivojlana bordi. Bu davrda son tushunchasining rivojlanishida Markaziy Osiyolik olimlardan Al-Xorazmiy (783-850), Abu Rayhon Beruniy (973-048), Abu Ali ibn Sino (980-1037), Abu Nasr Forobiy (873-950), Umar Hayyom (1048-1131) va boshqalar muhim kashfiyotlar qildilar. Jumladan:
1. Oltmishlik sanoq sistemasi takomillashtirildi;
2. Sonlardan kvadrat ildiz chiqarish usullari ishlab chiqildi;
3. O’nli kasrlar kashf etildi;
5. Binom formulasi isbotlandi;
6. Musbat haqiqiy son tushunchasi kengaytirildi.
Al-Xorazmiy o’zining «Hind xisobi haqida» asarida o’nlik sanoq sistemasini batafsil bayon etgan bo’lsada u faqat 300 yildan so’nggina keng qo’llanila boshlandi,
Manfiy sonlarni birinchi marta fransuz olimi Nikola Shyuke (1445- 1500) ning «Son haqidagi fan», (1484, Lionda 1848 yilda chop etilgan) asarida uchratish mumkin. Lekin bu sonlar haqidagi dastlabki tasavvurlar Hindiston va Xitoy matematiklari asarlarida mavjud bo’lgan. Masalan, xitoy matematiklari beshta noma’lumli beshta chiziqli tenglama sistemasini yechishda manfiy sonlardan oshkor ravishda bo’lmasada foydalanganlar. Hind matematigi B r a x m a g u p t a (598-660) manfiy sonlarni «qarz» sifatida ifodalaydi. U quyidagi qoidalardan foydalanadi: «Ikkita qarzning yig’indisi qarz. Yo’q va qarz yig’indisi yana qarz. Musbat sonni «buyum» deb ataydi, shuning uchun u «buyum» va «qarz» yigindisini ularning ayirmasiga teng deb ta’riflaydi. Agar ular teng bo’lsa, ayirma nol bo’lishini ko’rsatib o’tadi.
Arab matematiklari manfiy ishorani «dushman», musbat ishorani esa «do’st» sifatida qarab, har xil ishorali sonlar ko’paytmasining ishorasi haqida xayotiy «qoidalar»ni talqin etganlar.
Irrasional sonlar sohasida eron, matematigi A l- K a r x i y (1016 yilda vafot etgan) «Al-faxriy» kitobida kvadrat va kub ildizlardan iborat ko’phadlar qiymatlarini topadi, murakkab bo’lmagan kub ildizlar ustida shakl almashtirishlarni amalga oshiradi, masalan, ko’rinishdagi ifodalarni qaraydi.
«Rasional» atamasi lotinchadan «ratio» nisbat so’zidan kelib chiqqan bo’lsa, «irrasional» tushunchasi rasional bo’lmagan ma’noda ishlatilgan. Dastlab bu atamalar o’lchovli va o’lchovdosh bo’lmagan miqdorlarga nisbatan qo’llanilgan. V va VI asrlarda Rimlik matematiklar Marsian, Kapella va Kassiodor bu atamalarni lotinchaga «rasional» va «irrasional» deb tarjima qilganlar.
Yevklid «Negizlar» asarida irrasional sonlarni geometrik nuqtai nazardan bayon etadi, ammo eramizning boshiga kelib Yunonistondagi geometrik algebraga qarama-qarshi o’laroq Sharq mamlakatlarida geometriyagina emas, balki arifmetikaga asoslangan algebra ham rivojlana bordi, tekis va sferik trigonometriya, astronomiya uchun zarur xisoblash usullari takomillashdi.
Hindiston, O’rta va Yaqin Sharq matematiklari algebra, trigonometriya va astronomiyani rivojlantira borib, irrasional sonlarsiz ish tuta olmas edilar, lekin shunday bo’lsada, ular bu sonlarni ko’p vaqt tan olmay yurdilar. Yunonlar irrasional miqdorni «alogos»- so’zlar bilan ifodalanmaydigan deb, arablar esa «asamm»- gung deb atar edilar.
XVI asrda italyan matematigi R a f a e l B o m b ye l l i(1526-1572) va golland matematigi S i m o n S t ye v i n (1548-1620) ham irrasional soni rasional songa qaraganda kuchli son deb qaragan edilar.
Ulargacha ko’pgina Yaqin va Uzoq Sharq matematiklari ham irrasional sonlarni algebrada keng qo’llaganlar. Masalan, Umar Hayyom «Yevklidning qiyin postulatlariga sharhlar» nomli asarida o’sha davr matematikasining rivojlanayotgan nazariyalari va ularning turlicha tatbiq etilishi asosida bo’linadigan birlikni va umumlashgan son tushunchasini kiritdi, ularni son deb atadi. Bu umumlashgan son tushunchasi ham rasional son, ham irrasional sonin o’z ichiga oladi.
Shunday qilib, Umar Hayyom qadimgi matematiklarning son xaqidagi tushunchasiga yangilik kiritdi, miqdorlar nisbatini son deb ta’rifladi. Bu nisbat eski ma’noda- butun son, yangi son,edi. Hayyom irrasional miqdor bilan son orasidagi farq yo’qligini ko’rsatib, son tushunchasini musbat haqiqiy son tushunchasigacha kengaytirdi.
By soha buyicha ozarbayjonlik matematik Nasriddin Tusiy (at-Tusiy, 1201-1274) ham katta ishlarni amalga oshirdi. U «To’liq to’rttomonlik haqida risola» va «Yevklidning bayoni» asarlarida nisbatlar nazariyasi va son xaqidagi ta’limotni yanada rivojlantirdi.
Jumladan, Sharqda va keyinchalik O’rta asr Yevropasida shuhrat qozongan «Yevklidning bayoni» («Tahriri Uklidis») asari ikki xil variantda bizgacha yetib kelgan: birinchisi, qisqa bayoni va ikkinchisi 10 ta kitobdan iborat mufassal bayoni 1594 yilda Rimda chop etilgan. Bu asarida olim kvadrat irrasionalliklar ustida fikr yuritadi, shuningdek, rasional miqdorga quyidagicha ta’rif beradi: «Berilgan miqdorga nisbatda turgan xar qanday miqdor rasional deyiladi, bunda son songa nisbatda bo’ladi». Aks holda u irrasional miqdor deb tushuntiradi, Irrasional miqdor biror miqdorga nisbatan, agar bu miqdor irrasional bo’lsa, sonning songa nisbati kabi munosabatda bo’ladi. Masalan,
yoki
O’rta va Uzoq Sharq matematik va astronomlari oltmishlik kasrlardan foydalanganlar. Bu sohada buyuk o’zbek matematigi va astronomi U l u g’ b ye k (1394-1449) ilmiy maktabining yirik olimlaridan biri G’iyosiddin Jamshid al-Koshiy (1385-1430) ish olib borib, «Arifmetika kaliti» (1427) asarining uch qismida son ta’limotini rivojlantirishga katta hissa qo’shdi. Unda olim butun sonlar arifmetikasi, butun sonlardan ildiz chiqarish umumiy qoidalarini bayon etdi. Shuningdek, binomni butun musbat darajaga ko’tarishni ham birinchi bo’lib Koshiy keltirib chiqardi.
Mazkur asarda turli kasrlar: suratlari birdan iborat bo’lgan misr kasrlari, maxrajlari 60 ga teng bo’lgan bobil kasrlari, surat va maxrajlari turli sonlardan iborat oddiy kasrlar, ularning, yozilish usullari, ular ustida amallarni bajarish va boshqa turli kasrlar bayon qilingan. Bulardan tashqari, olim maxrajlari 10, 100, 1000 va h. k. bo’lgan kasrlarni, ya’ni o’nli kasrlarni qaradi, ularga ta’rif berdi, «o’ndan bir», «yuzdan bir», «mingdan bir» va h. k. atamalarni kiritdi. O’nli kasrlarni yozishda butun qismidan so’ng tik chiziq chizib, so’ng kasr, qismini yozdi yoki butun qismini bir xil siyoh bilan, kasr qismini esa boshqa rangli siyoh bilan yozdi. Al-Koshiy o’nli kasrlar ustida amallar bajarish qoidalarini ifodaladi va ko’p misollarda tushuntirib berdi. Shunday qilib, vatandoshimiz Samarqandlik olim al-Koshiy o’nli kasrlar nazariyasini asoslagan birinchi olimdir.
Yevropada o’nli kasrlar haqida Koshiy zamonidan: bir yarim asr o’tgandan keyin golland matematigi Simon Stevin 1585 yilda asar yozdi. U 1594 yilda yozgan yana bir «Algebraga ilovalar» asarida oldingi-«o’nlik» asaridagi g’oyalarni rivojlantirib, o’nlik kasrlarni xaqiqiy songa cheksiz yaqinlashtirish uchun ham ishlatish mumkinligini ko’rsatdi. Shunday qilib, XVI asrda irrasional son tushunchasini kiritish va asoslash formal usulda bo’lib, o’nli kasrlarni, hisoblash g’oyasi yaratildi.
Buyuk fransuz faylasufi, matematigi, fizigi va fiziolog olimi R ye n ye
D

ye k a r t (1596-1650) ning «Geometriya» (1637) asari paydo bo’lishi ixtiyoriy
kesmalarni o’lchash bilan, rasional son tushunchasini kengaytirish orasida bog’liqlikni tushunishni osonlashtirdi. Son o’qida irrasional sonlar ham rasional sonlar kabi nuqtalar bilan tasvirlandi. Bu geometrik tasvirlash irrasional sonlar xususiyatini tushunishga, va ularni tan olishga imkoniyat yaratdi.
XVI-XVII asrlarga kelib Yeropada son tushunchasini haqiqiy son tushunchasigacha kengaytirish uchun harakatlar boshlandi.
Uzluksiz miqdor va son tushunchasi orasidagi uzilishni tugatish uchun Dekart hap qanday miqdorni to’g’ri chiziq kesmasi bilan ifodaladi. Kesma bilan birgalikda sonlar ustidagi har bir amalga kesmalar ustida geometrik amalini (yasashni) mos qo’yadi. Masalan, a, b kesmalar ko’paytmasini a, b, 1 ga to’rtinchi proporsionalni yasash bilan topadi. Ildiz chiqarishga proporsiyadan aniqlanuvchi x kesmani yasash mos keltiriladi. Har bir haqiqiy sonni kesma sifatida qarab, kesmalarni hisoblash birligini kiritib hamda manfiy sonlarni ko’rgazmali tavsiflab, Dekart - son tushunchasi va geometrik miqdor orasidagi uzilishni to’ldirdi va son tushunchasini umumlashtirishga va unga yangi ta’rif berishga imkoniyat yaratdi.
Sonning yangi ta’rifi ingliz olimi Isaak Nyuton(1643-1727)
tomonidan «Umumiy arifmetika» (1707) asarida bayon etildi, Bu haqiqiy son ta’rifi uzluksiz miqdorlarni kesmalar ustida dekart hisobi orqali emas, balki bevosita arifmetik hisoblashlar yordamida o’rganishga imkon berdi. Bu esa limitlarning yaratilishi, irrasional sonlarni rasional sonlar ketma-ketliklarining limitlari sifatida tushunishga yo’l ochdi.
Isaak Nyuton – buyuk ingliz fizigi, barcha fanlarga katta hissa qo’shgan olim. U butun olam tortish qonunini kashf etdi, mexanika asoslarni bayon etdi(Nyuton qonunlari) integral va differensial hisobni yaratdi. Funksiyalar interpolyasiyasi bilan shug’ullandi (Nyuton metodi). Optikada ham o’z izini qoldirdi –yorug’likning to’lqin uzunligiga bog’liq ravishda sinishni ochdi ( Nyuton xalqalari), birinchi marta akslantiruvchi telekskopni yaratdi. Isaak Nyuton haqidagi maqolada Albert Eynshteyn shunday degan edi:"...Nyuton matematik tafakkur yordamida mantiqiy ravishda miqdoran va tajriba bilan hodisalar keng sohasini keltirib chiqarish mumkin bo’lgan ochiq bayon qilingan asosni topishga muvaffaq bo’lgan birinchi shaxsdir".
Isaak Nyuton Linkolnshirdagi Vulstorp qishlog’ida 1643-yilda fermerlvar oilasida tug’illgan. 12 yoshida Nyuton Grantemdagi jamoat maktabiga bordi. 1665-yilda Kembrijda Isaak Nyuton mohir san’atlar( so’z fanlari) bakalavri darajasini oldi. Isaak Nyuton fandagi buyuk yutuqlarini quyosh yorug’ligini tadqiq etish bilan boshlagan, u prizma yordamida uni tashkil etuvchi turli ranglarga ajratishga erishdi. 1666-yilda Kembrijda epidemiya boshlandi, Isaak Nyuton Vulstorpga ko’chib o’tdi, u yerda u falsafiy izlanishlar bilan shug’ullandi. Mana shu yerda u butun olam tortishish qonunini kashf etdi ( afsonaga ko’ra bu g’oya uning boshiga olma tushganda kelgan, hozir bu olma daraxtidan xotira o’rindig’i qilingan). 1669-yilda Isaak Nyuton matematika professori bo’ldi. Taxminan shu paytda Nyuton integral va differensial hisobni yaratdi (nemis matematigi Leybnis bilan bir vaqtning o’zida). Isaak Nyutonninng muhim kashfiyotlarida biri sifatida u qo’ldan yasagan asklantiruvchi teleskop hisoblanadi. Bu teleskope haqida London qirollik jamiyati bilib qolib, 1670-yil oxirida Nyutonni uning a’zoliga sayladilar.. Isaak Nyuton jism tortuvchi kuch ta’sirida (masalan, tortish kuchi ta’sirida) konik kesim (ellips, giperbola, parabola, to’g’ri chiziq yoki doira) egri chiziqni yasashligi haqidagi teoremani isbotladi. Bunda Nyuton tortishish markazi egri chiziq konik kesimi bilan hosil qilinadigan fokusda yotishini ko’rsatdi. Nyuton har bir sayyoraning markazi fokuslaridan birida Quyosh yotuvchi ellipsni yasashi haqidagi Kepler qonunini isbotladi. Nyutonning hisoblashlari Yerga jismni tushishga majbur etuvchi kuch Oy harakatini boshqaradigan kuchga teng ekanligini ko’rsatdi, bu bilan u o’z farazlarini to’liq tasdiqladi. 1683-yil oxirida Isaak Nyuton Qirollik jamiyatiga taqdim etgan "Natural falsafaning matematik asoslari» ishida o’z xulosalarini keltirib, o’z sistemasini bvyon etdi. O’z nazariyalariga asoslanib Isaak Nyuton sayyoralarning massasi va zichligini aniqlaydi, u Yer - ellipsoid (qutblarida birlashtirilgan va ekvatorda kengay-tirilgan shar) ekanligini isbotladi, to’lqin qaytish (qochishlari) bilan Quyosh-Oy orasidagi bog’lanishini aniqladi. 1695-yilda Isaak Nyuton Angliyada pul aylanishini yaxshilash bilan щug’ullandi, pul ishlari bosh direktori lavozimida ishladi. 1701-yilda Isaak Nyutonni parlament a’zosi qilib saylashdi. 1703-yilda Nyuton ingliz Qirollik jamiyati prezidenti bo’ldi. 1705 yilda Angliya qiroli Nyutonni risarlik mansabiga ko’tardi. Isaak Nyuton 1727-yil 20-martida vabo epidemiyasi payttida vafot etdi, uning dafn etish kuni milliy motam kuni deb e’lon qilindi.
Eyler (1707-1783-y) va nemis matematigi Iogann Genrix Lambert (1728-1777) esa agar cheksiz o’nli kasr davriy bo’lsa, u rasional sonni ifodalashligini isbotladilar, bu esa davriymas cheksiz o’nli kasrlarni irrasional sonlarga mos qo’yilishiga olib keldi. Shunday qilib, XVIII asr boshiga kelib irrasional sonlar to’g’risida uch fikr paydo bo’ldi: rasional sonlarning aniq chiqarilmaydigan ildizlari; har qanday aniqlikdagi rasional yaqinlashishlar ketma-ketligi; Nyuton ta’rifiga asoslangan sonlar. Oxirgi ta’rif fanda bir yarim asr hukm surgan bo’lsa ham haqiqiy sonlar nazariyasining yaratilishiga mantiqiy asos bo’lib xizmat qila olmadi.
Haqiqiy son tushunchasining rivoji va uni asoslash XIX asrda
Byernard Bolsano (1781 -1848), Ogyustyen Lui Koshi (1789 -1857) va Karl Tyeodor Vilgyelm Vyeyyer shtrass (1815-1897) tomonidan limitga va matematik analizning boshqa asosiy tushunchalariga qat’iy ta’rif berilgandan so’nggina amalga oshirildi.
XIX asrning ikkinchi yarmida nemis matematigi Rixard Dedekind (1831 -1916) «Uzluksizlik va irrasional sonlar» (1872) asarida uzluksizlik va xaqiqiy son ta’rifini berdi, bunda u rasional sonlarning uchta xossasiga asoslandi:
1. bo’lsa, bo’ladi.
2. a va turli sonlar bo’lsa, u holda ular orasida yotuvchi cheksiz ko’p son mavjud.
3.Agar a biror son bo’lsa, u butun rasional sonlar to’plamini ikkiga va sinfga ajratadi: bunda
1)rasional sonlar to’plamining har qanday elementi bu sinflardan bittasiga va faqat bittasiga tegishli;
2) va sinflarning birortasi ham bo’sh emas;
3)birinchi sinfning har qanday soni ikkinchi sinfning har qanday
sonidan kichik.
Sonlarning bunday sinflarga bo’linishi Dye d ye k i n d k ye s i m i deb ataladi. Bu kesim orkali rasional va irrasional sonlar birgalikda haqiqiy-sonlar to’plami yoki kontinuum (lotincha-uzluksiz) tashkil etishi aniqlandi. So’ngra kontinuumni tartiblash, haqiqiy sonlarning zichligi va uzluksizligini isbotlash amalga oshirildi. Nihoyat, haqiqiy sonlar ustida amallar aniqlandi.
Dedekind nazariyasi bilan bir qatorda haqiqiy sonlar to’plamining boshqa nazariyalari - Kantor va Veyershtrass nazariyalari paydo bo’ldi. Ular ham rasional sonlarni asos qilib olib, bir-biridan kam farq qiladigan nazariyalarni yaratdilar.
Haqiqiy son tushunchasini yanada kengaytirish matematika fanini nazariy jihatdan rivojlantirish ehtiyojlari tufayli paydo bo’ldi. Shunday qilib, kompleks son tushunchasi vujudga keldi. Italyan matematigi R. Bombelli taxminan 1560 yillarda yozilgan va 1572 yilda chop etilgan «Algebra» asarida mavhum miqdorlarni kiritib, ular ustida amallar bajarishning oddiy qoidalarini keltirdi va ularni kub tenglamalarning keltirilmaydigan hollarini tekshirishga tatbiq etdi.
Kompleks son tushunchasini yanada rivojlantirishda fransuz olimi Fransua Viyet (1540-1603), ingliz olimi Vallis (1617-1703) va golland matematigi Albert Jirar (1592-1632) katta hissa qo’shdilar. Jumladan, Vallis 1685 yilda yozgan algebra bo’yicha asarida kompleks sonlarni geometrik tasvirlash g’oyasini bayon qilgan bo’lsa, Jirar «Algebrada yangi kashfiyotlar» (1629) asarida tenlamalarning manfiy ildizlarini qaradi hamda tenglamalarning manfiy ildizlariga yo’nalgan kesmalar sifatida geometrik tavsif berdi.
XIX asrda son tushunchasi yana ham umumlashtirilib, kompleks sonning umumlashgan shakli kashf etildi. Bu sonni birinchi bo’lib irland matematigi Uilyam Rouan Gamilton (1805-1865) va nemis matematigi Grassman German Gyunter (1809-1977) bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda kiritdilar. Ular bir necha birlikka ega sonlar sistemalarining xususiy holi sifatida kompleks sonlar nazariyasining formal bayonini berdilar. Gamilton o’zaro quyidagi ko’paytirish jadvali bilan bog’langan to’rtta birlikka ega bo’lgan o’ziga xos sonlar sistemasi (kvarternionlar)ni yaratdi. Uning g’oyasi Grassman g’oyalariga yaqin edi, buning ustida 8 yil ishladi. Lekin Grassmanning bayoni o’zining aniqligi bilan faqat kvaternionlarnigina emas, balki kompleks sonlarning ham tan olinishida muhim rol o’ynadi.
1844 yilda Grassman Gamiltonga bog’liq bo’lmagan holda sonning umumlashgan shakli ko’rinishdagi sonlarni, ya’ni giperkompleks sonlarni o’rganishga kirishdi.
Xulosa qilib, shuni ta’kidlash kerakki, son tushunchasi insoniyat va matematika fani ehtiyojlari tufayli rivojlanib keldi hamda ko’pdan-ko’p matematik nazariyalarning taraqqiyotiga asos bo’lib xizmat qildi. Hozirgi paytda ham sonlar nazariyasi matematikaning mustaqil bo’limi sifatida yangi nazariyalarga asos yaratmoqda, shu bilan turli yo’nalishlar tatbiqlarida tobora kengroq qo’llanilmoqda.
Butun nоmanfiy sоnlar. a va b natural sоnlar va a  b  c yig‘indi b еrilgan bo‘lsin. Bu yig‘indi uchun 1) c  a va c  b ; 2) har bir qo‘shiluvchi, yig‘indi bilan ikkinchi qo‘shiluvchi оrasidagi ayirmaga tеng, ya’ni b  c  a va a  c  b
«0» sоni bo‘sh to‘lpamlar sinfining хaraktеristikasi sifatida kiritilgan bo‘lib

•