Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari
Ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli shartlari
Yüklə 181,5 Kb.
|
|
3. Ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli shartlari.
Teorema. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz va x0 nuqta funksiyaning kritik nuqtasi bo‘lsin. a) Agar x(x0-;x0) uchun f’(x)>0, x(x0; x0 +) uchun f’(x)<0 tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishida o‘z ishorasini «+» dan «-» ga o‘zgartirsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bo‘ladi. b) Agar x(x0-;x0) uchun f’(x)<0, x(x0; x0 +) uchun f’(x)>0 tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada minimumga ega bo‘ladi. c) Agar f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada ga ega bo‘lmaydi. Isbot. a) Holni qaraymiz. Bu holda x(x0-;x0) uchun f’(x)>0 bo‘lishidan f(x) funksiyaning (x0 -; x0) da qat’iy o‘suvchiligi kelib chiqadi. So‘ngra shartga ko‘ra f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lgani sababli (1) tenglik o‘rinli. Demak, x(x0 -; x0) uchun f(x) bo‘ladi. x(x0; x0 +) uchun f’(x)<0 bo‘lishidan f(x) funksiyaning (x0; x0 +) da qat’iy kamayuvchiligi kelib chiqadi. Demak, (1) tenglikni e’tiborga olsak, x(x0;x0+) uchun yana (2) tengsizlik bajariladi. Bundan xx0 va x(x0-;x0+) uchun f(x) b) Bu holda f(x) funksiya x0 nuqtada minimumga erishishi (a) holga o‘xshash isbotlanadi. f’(x) hosila x0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan (c) holda f(x) funksiya x0 nuqtaning (x0 -; x0 +) atrofida qat’iy o‘suvchi yoki qat’iy kamayuvchi bo‘ladi. Demak, x0 nuqtada yo‘q. Shunday qilib ga sinalayotgan nuqtani o‘tishda funksiya hosilasi ishorasining o‘zgarishi ga erishishning faqat yetarli sharti bo‘lib, lekin zaruriy sharti bo‘la olmaydi. Eslatma. Yuqoridagi mulohazalarda f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo‘lishi muhim. Masalan, ushbu funksiyani qaraylik. Bu funksiya uchun f’(x)=4x3 bo‘lib, hosila x=0 nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa ham, berilgan funksiya x=0 nuqtada minimumga ega emas. Eslatma. x0 nuqtaning chap tomonidan o‘ng tomoniga o‘tganda hosila ishorasini o‘zgartirmasa ham bu nuqta nuqtasi bo‘lishi mumkin. Masalan, funksiya uchun x=1 (minimum) nuqta bo‘ladi. Haqiqatdan, x=1 ning (0;2) atrofidagi barcha nuqtalar uchun f(x)f(1)=-1 tengsizlik o‘rini bo‘ladi. Shu bilan birga x<1 va x>1 nuqtalar uchun f’(x)=-1<0, ya’ni hosila ishorasini o‘zgartirmaydi. Yüklə 181,5 Kb. Dostları ilə paylaş:
|