Ko’phadning ildizi, ko’phadning karrali ildizi. K birlik elementga EGA bo`lgan butunlik sohasi bo`lsin. 1-Ta’rif

Teorema. Agar keltirilmaydigan p(x) ko’phad f(x) ko’phad uchun α karrali ko’paytuvchi bo’lsa ‚ uning f^׀(x) hosilasi uchun p(x) ko’phad α-1 karrali ko’paytuvchi bo’ladi.
Isboti. Tarifga ko’ra f(x)=p^α(x)g(x) bo’lib, bunda g(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi. Endi f(x) ning hosilasini olamiz:

Qavslar ichidagi yigindi p(x) ga bo’linmaydi . Haqiqatan, bu yigindini h(x) bilan belgilasak,

Tenglik hosil bo’ladi. va g(h) ayrim –ayrim p(x) ga bo’linmagani uchun ko’phad ko’paytmasi ham p(x) ga bo’linmaydi. O’ng tomondagi yig’indining - qo’shiluvchisi p(x) ga bo’linadi, agar qo’shiluvchisi ham p(x) ga bo’linsa, tenglikning o’ng tomoni , va chap tomoni ham p(x) ga bo’linar edi. Shunday qilib ,h(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi va tenglik teoremani isbotlaydi. Bu teoremadan f(x) ning bir karralip(x) ko’paytuvchisi hosila uchun ko’paytuvchi emasligini ko’ramiz.
1-misol. P(x)=x⁴-3mx³+nx+p ko’phadning bir bo’luvchisi (x-3)³ bo’lsa , m ni toping.
Yechish. Ko’phadning x=3 uch karrali ildizi.
Gorner sxemasini tuzamiz.

	1	-3m	0	n	p
3	1	3-3m	9-9m	27-2m+n	81-81m+3n+p
3	1	6-3m	27-18m	81-54m
3	1	9-3m	54-27m

Oxirgi ifodadan 54-27m=0 ekanligi kelib chiqadi, demak, m=2

Javob: m=2.


2-misol. P(x)=x³-3x²+mx+n ko’phadi (x+2)² ga qoldiqsiz bo’linsa, n ni toping .
Yechish. Masalaning berilishiga ko’ra, P(x)=(x+2)² (x) o’rinli bo’ladi. x=-2 ildiz ko’phadning ikki karrali ildizi, demak, Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	-3	m	n
-2	1	-5	10+m	-20-2m+n
-2	1	-7	24-m

Bunga ko’ra,

natijaga ega bo’lamiz.
Javob: n=68.
3-misol. P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi x=-1 bo’lsa 3a-b ni toping.
Yechish: P(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi demak, Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	a	b	c	d
-1	1	a-1	1-a+b	a-b-1+c	b-1-c+d
-1	1	a-2	3-2a+b	3a-2b-4+c
-1	1	a-3	6-3a+b

6-3a+b=0 3a-b=6

Javob: 3a-b=6.
4-misol. P(x)=2x³-15x²+36x+n ko’phad (x-n)² ga bo’linsa, n ning qiymatlar yig’indisini toping.
Yechish: x=n p(x) ning 2 karrali ildizi ekan. Gorner sxemasi tuzamiz.

	2	-15	36	n
n	2	2n-15	2n^2-15n+36	2n^3-15n^2+37n
n	2	4n-15	6n^2-30n+36

6n²-30n+36=0 n²-5n+6=0 n₁+n₂=5

Javob: 5.
5-misol. P(x)=ax³+bx²+cx+d ko’phadning ikki karrali bir ildizi x=1 bo’lsa d=? toping.
Yechish: Gorner sxemasi tuzamiz.

	a	b	c	d
1	a	a+b	a+b+c	A+b+c+d
1	a	2a+b	3a+2b+c

d=2a+b
Javob: d=2a+b.

6-misol. P(x)=x³-5x²+mx+n ko’phadning bir ko’paytuvchisi (x-3)² bo’lsa m=? ni toping.


Yechish: Gorner sxemasi tuzamiz.

	1	-5	m	n
3	1	-2	-6+m	3m+n-18
3	1	1	-3+m

-3+m=0, m=3

Javob: m=3.